Considere os primeiros termos da sequência
e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral
desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem uma sequência de termos dada por:
O que precisamos fazer é:
- Encontrar uma fórmula explícita para o termo geral
dessa sequência. - Determinar se a sequência converge ou diverge.
- Se for convergente, descobrir qual é o seu limite.
Para isso, vamos usar conceitos de sequências numéricas e limites, descomplicando passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos observar o padrão da sequência para encontrar a fórmula geral
.
Olhando para os termos:
Parece que o numerador de cada termo é
e o denominador segue a sequência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
Sabemos que a sequência dos denominadores pode ser representada por
. Por exemplo:
Portanto, a fórmula geral para o termo
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar se essa sequência é convergente ou divergente. Para isso, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Para resolver esse limite, observamos o comportamento dos termos no numerador e no denominador:
- No numerador, temos
, que cresce bem rápido conforme aumenta. - No denominador, temos
, que cresce linearmente.
Como o numerador cresce muito mais rápido que o denominador, o limite tende ao infinito. Formalmente:
Resposta
A fórmula geral da sequência é
, e a sequência é divergente pois seu limite tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Prove que, para quaisquer inteiros
e
tais que
, temos
.
Verifique se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem. Determine o valor da soma das séries que forem convergentes.
Sejam
e
. Se
, calcule o valor de
.