Considere os primeiros termos da sequência e suponha que o padrão destes continua como o indicado. Encontre uma fórmula explícita para o termo geral desta sequência e determine se a sequência é convergente ou divergente. Para cada sequência convergente, encontre o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem uma sequência de termos dada por:
O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar uma fórmula explícita para o termo geral dessa sequência.
  2. Determinar se a sequência converge ou diverge.
  3. Se for convergente, descobrir qual é o seu limite.
Para isso, vamos usar conceitos de sequências numéricas e limites, descomplicando passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos observar o padrão da sequência para encontrar a fórmula geral .
Olhando para os termos:
Parece que o numerador de cada termo é e o denominador segue a sequência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
Sabemos que a sequência dos denominadores pode ser representada por . Por exemplo:
Portanto, a fórmula geral para o termo é:

Passo 3

Agora, vamos determinar se essa sequência é convergente ou divergente. Para isso, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Para resolver esse limite, observamos o comportamento dos termos no numerador e no denominador:
  • No numerador, temos , que cresce bem rápido conforme aumenta.
  • No denominador, temos , que cresce linearmente.
Como o numerador cresce muito mais rápido que o denominador, o limite tende ao infinito. Formalmente:

Resposta

A fórmula geral da sequência é , e a sequência é divergente pois seu limite tende ao infinito.

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Prove que, para quaisquer inteiros e tais que , temos .
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Sejam e . Se , calcule o valor de .