1. f(x) = { 1 + x^2 se x <= 0; 2 - x se 0 < x <= 2; (x - 2)^2 se x > 2 }
  2. f(x) = { x + 1 se x <= 1, 1/x se 1 < x < 3, raiz(x - 3) se x >= 3 }
  3. f(x) = { x + 2 se x < 0, e^x se 0 <= x <= 1, 2 - x se x > 1 }
  4. A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é
F(r) = { G M r / R³ se r < R, G M / r² se r ≥ R }
onde M é a massa da Terra; R é seu raio; e G é a constante gravitacional. F é uma função contínua de r ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão juntos! O exercício pede para a gente analisar se uma função que descreve a força gravitacional terrestre é contínua. A função está dividida em duas partes, dependendo do valor de , que é a distância do centro da Terra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como verificar isso em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto. Mais tecnicamente, para um ponto , a função é contínua se:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de pelo lado esquerdo ( ) existe.
  3. O limite de quando se aproxima de pelo lado direito ( ) existe.
  4. Os dois limites são iguais e iguais a .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função dada:
Aqui, tem duas expressões diferentes dependendo de . A gente precisa verificar se, no ponto onde a definição muda ( ), a função continua.

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de pelo lado esquerdo ( ):

Passo 5

Agora, o limite de quando se aproxima de pelo lado direito ( ):

Passo 6

Vimos que ambos os limites, pelo lado esquerdo e direito de , são iguais e valem . Além disso, a função está definida em :

Passo 7

Como:
  1. está definido.
  2. Os limites pela esquerda e direita existem.
  3. Ambos os limites são iguais e iguais a .
Então, a função é contínua em .

Resposta

Sim, a função é contínua em todo o seu domínio.

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