Encontre o volume do sólido que resulta quando a regão delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y. y = ln(x), x = 0, y = 0, y = 1 R = (pi/2) * (e^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas , , e gira em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • é a função logarítmica.
  • é o eixo .
  • é o eixo .
  • é uma linha horizontal no ponto onde .
Quando a gente gira essa região em torno do eixo , vai formar um sólido. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar a fórmula do método dos discos:
Onde:
  • é o raio do disco em cada ponto .
  • e são os limites de integração, que nesse caso são de até .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para . Como estamos girando em torno do eixo , o raio é a distância da curva até o eixo . Vamos resolver a equação para :
Então, o raio é .

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume, temos:
Simplificando para , a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . A antiderivada de é . Então:

Passo 6

Finalmente, substituímos o resultado da integral na fórmula do volume:

Resposta

O volume do sólido é .

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