Encontre o volume do sólido que resulta quando a regão delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas
,
,
e
gira em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
é a função logarítmica. -
é o eixo . -
é o eixo . -
é uma linha horizontal no ponto onde .
Quando a gente gira essa região em torno do eixo
, vai formar um sólido. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar a fórmula do método dos discos:
Onde:
-
é o raio do disco em cada ponto . -
e são os limites de integração, que nesse caso são de até .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
. Como estamos girando em torno do eixo
, o raio
é a distância da curva
até o eixo
. Vamos resolver a equação
para
:
Então, o raio
é
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula do volume, temos:
Simplificando
para
, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é
. Então:
Passo 6
Finalmente, substituímos o resultado da integral na fórmula do volume:
Resposta
O volume do sólido é
.