Use a regra da cadeia para obter as seguintes derivadas: y = (x^3 + 1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! Aqui, a gente tem a função e precisa usar a regra da cadeia para encontrar a derivada. A regra da cadeia é útil quando temos uma função dentro de outra função, o que é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções internas e externas. Na nossa função:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:

Passo 3

A regra da cadeia diz que a derivada de em relação a é a derivada da função externa em relação a multiplicada pela derivada da função interna em relação a . Matematicamente, isso fica:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada da função externa em relação a :

Passo 5

Agora, a derivada da função interna em relação a :

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia, multiplicamos essas duas derivadas:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta na expressão:

Resposta

A derivada de é:

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