Passando para o item (d). Temos três polinômios em : , e . Vamos verificar se são linearmente independentes.
Passo 9
Consideramos a combinação linear igual a zero:
a(x^2+1) + b(x+1) + c(x^2+x) = 0
Simplificando:
(a + c)x^2 + (b + c)x + (a + b) = 0
Isso implica no sistema:
a + c = 0 b + c = 0 a + b = 0
Resolvendo:
Da primeira equação: .
Da segunda: .
Da terceira: .
Então, e .
Passo 10
Agora, o item (e). Temos três polinômios em : , e . Vamos verificar a independência linear.
Passo 11
Consideramos a combinação linear igual a zero:
a(2x^2+3) + b(x^2+1) + c(1) = 0
Simplificando:
(2a + b)x^2 + (0)x + (3a + b + c) = 0
Isso nos dá o sistema:
2a + b = 0 3a + b + c = 0
Há mais incógnitas do que equações, o que sugere existência de soluções não triviais.
Passo 12
Por fim, o item (f). Temos quatro polinômios em : , , e . Vamos verificar a independência linear.
Passo 13
Em , qualquer conjunto com mais de três polinômios é linearmente dependente, já que tem dimensão 4. Como temos quatro polinômios, eles são linearmente dependentes.
Resposta
Os polinômios , , e são linearmente dependentes em .