(a) (1,2,3),(1,0,1),(2,1,0) in R^3.
(b) (1,2),(3,5),(-1,3) in R^2.
© (2,5,-3,6),(1,0,0,1),(4,0,9,6) in R^4.
(d) x^2+1, x+1, x^2+x in P3.
(e) 2 x^2+3, x^2+1,1 in P3.
(f) 2 x^2+3, x^3+1, x^3+x^2, 1 in P3.

Passo 1

Vamos analisar o item (a). Temos três vetores em : , e . Nosso objetivo é verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Para verificar a independência linear, vamos montar uma combinação linear igual a zero:
a(1,2,3) + b(1,0,1) + c(2,1,0) = (0,0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a + b + 2c = 0 2a + 0b + c = 0 3a + b + 0c = 0
Vamos resolver esse sistema.

Passo 3

Da segunda equação: a + b + 2(-2a) = 0 Rightarrow a + b - 4a = 0 Rightarrow -3a + b = 0 Rightarrow b = 3a .
Substituindo 3a + 3a + 0 = 0 Rightarrow 6a = 0 Rightarrow a = 0 na primeira equação:
Agora, substituindo na terceira equação:
Então, , e .

Passo 4

Agora, vamos analisar o item (b). Temos três vetores em : , e . Precisamos verificar a independência linear desses vetores.

Passo 5

Em , qualquer conjunto com mais de dois vetores é linearmente dependente. Como temos três vetores, automaticamente eles são linearmente dependentes.

Passo 6

Vamos para o item ©. Temos três vetores em : , e . Vamos verificar a independência linear.

Passo 7

Montamos a combinação linear igual a zero:
a(2,5,-3,6) + b(1,0,0,1) + c(4,0,9,6) = (0,0,0,0)
Isso resulta no sistema:
2a + b + 4c = 0 5a + 0b + 0c = 0 -3a + 0b + 9c = 0 6a + b + 6c = 0
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação: .
Substituindo na terceira equação: .
Então, .

Passo 8

Passando para o item (d). Temos três polinômios em : , e . Vamos verificar se são linearmente independentes.

Passo 9

Consideramos a combinação linear igual a zero:
a(x^2+1) + b(x+1) + c(x^2+x) = 0
Simplificando:
(a + c)x^2 + (b + c)x + (a + b) = 0
Isso implica no sistema:
a + c = 0 b + c = 0 a + b = 0
Resolvendo:
Da primeira equação: .
Da segunda: .
Da terceira: .
Então, e .

Passo 10

Agora, o item (e). Temos três polinômios em : , e . Vamos verificar a independência linear.

Passo 11

Consideramos a combinação linear igual a zero:
a(2x^2+3) + b(x^2+1) + c(1) = 0
Simplificando:
(2a + b)x^2 + (0)x + (3a + b + c) = 0
Isso nos dá o sistema:
2a + b = 0 3a + b + c = 0
Há mais incógnitas do que equações, o que sugere existência de soluções não triviais.

Passo 12

Por fim, o item (f). Temos quatro polinômios em : , , e . Vamos verificar a independência linear.

Passo 13

Em , qualquer conjunto com mais de três polinômios é linearmente dependente, já que tem dimensão 4. Como temos quatro polinômios, eles são linearmente dependentes.

Resposta

Os polinômios , , e são linearmente dependentes em .

Resumo Final

  • (a) Linearmente independentes.
  • (b) Linearmente dependentes.
  • © Linearmente independentes.
  • (d) Linearmente independentes.
  • (e) Linearmente dependentes.
  • (f) Linearmente dependentes.

Final Answer

Conforme resumido acima.

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