Determinar o valor de k para que os vetores u=(-2,3) e v=(k,-4) sejam
a) paralelos;
b) ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois vetores, u=(-2,3) e v=(k,-4), e precisamos encontrar o valor de k para que esses vetores sejam:
a) Paralelos;
b) Ortogonais.
Vamos usar conceitos de vetores, paralelismo e ortogonalidade para resolver isso.

Passo 2

a) Vetores Paralelos
Para dois vetores serem paralelos, eles precisam ser múltiplos um do outro. Isso significa que as componentes correspondentes dos vetores estão na mesma proporção.
Então, temos que:
uxvx = uyvy
Substituindo os valores dos vetores:
-2k = 3-4

Passo 3

Agora, vamos resolver essa proporção para encontrar k.
Multiplicando em cruz:
-2 times (-4) = 3 times k
8 = 3k

Passo 4

Isolando k:
k = 83

Passo 5

Resposta a): O valor de k para que os vetores sejam paralelos é k = 83.

Passo 6

b) Vetores Ortogonais
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar é calculado assim:
u cdot v = ux cdot vx + uy cdot vy
Para serem ortogonais:
u cdot v = 0

Passo 7

Substituindo os valores dos vetores:
(-2) cdot k + 3 cdot (-4) = 0
-2k -12 = 0

Passo 8

Resolvendo para k:
-2k = 12
k = -6

Passo 9

Resposta b): O valor de k para que os vetores sejam ortogonais é k = -6.

Resposta

a) k = 83;
b) k = -6.

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