(2,0 pontos) Seja T: R^3 R^2 a transformaçõo tal que
[T]alpha^beta
T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z)
Sejam beta=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) e alpha=(1,3),(1,4). Determine [T]Q^8

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Queremos encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases de e de . Vamos precisar usar conceitos de mudança de base e representação de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação , precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado em termos da base .

Passo 3

Vamos aplicar T(1,1,1) = (2(1) + 1 - 1, 3(1) - 2(1) + 4(1)) = (2 + 1 - 1, 3 - 2 + 4) = (2, 5) ao primeiro vetor de : .
Calculando:

Passo 4

Agora, precisamos expressar a(1,3) + b(1,4) = (2,5) na base a + b = 2 3a + 4b = 5 . Isso significa encontrar escalares 3a + 4b - 3a - 3b = 5 - 6 Rightarrow b = -1 e tais que:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação multiplicada por 3 da segunda:
Então, . Logo, .

Passo 5

Portanto, as coordenadas de 3 -1 na base são .

Passo 6

Vamos repetir o processo para o segundo vetor de T(1,1,0) = (2(1) + 1 - 0, 3(1) - 2(1) + 4(0)) = (2 + 1, 3 - 2) = (3, 1) : .
Calculando:

Passo 7

Expressando a(1,3) + b(1,4) = (3,1) na base a + b = 3 3a + 4b = 1 :
3a + 3b = 9
Sistema:
3a + 4b - 3a - 3b = 1 - 9 Rightarrow b = -8
Multiplicando a primeira equação por 3:
Subtraindo da segunda equação:
Então, . Logo, .

Passo 8

As coordenadas de 11 -8 na base são .

Passo 9

Por fim, aplicamos T(1,0,0) = (2(1) + 0 - 0, 3(1) - 2(0) + 4(0)) = (2, 3) ao terceiro vetor de : .
Calculando:

Passo 10

Expressando a(1,3) + b(1,4) = (2,3) na base a + b = 2 3a + 4b = 3 :
3a + 3b = 6
Sistema:
3a + 4b - 3a - 3b = 3 - 6 Rightarrow b = -3
Multiplicando a primeira equação por 3:
Subtraindo da segunda equação:
Então, . Logo, .

Passo 11

As coordenadas de 5 -3 na base são .

Resposta

A matriz da transformação [T]alpha^beta = 3 & 11 & 5 -1 & -8 & -3 na base de e na base de é:

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