(2,0 pontos) Seja
a transformaçõo tal que
Sejam
e
. Determine
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Queremos encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases
de
e
de
. Vamos precisar usar conceitos de mudança de base e representação de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz da transformação
, precisamos aplicar
a cada vetor da base
e expressar o resultado em termos da base
.
Passo 3
Vamos aplicar
ao primeiro vetor de
:
.
Calculando:
Calculando:
Passo 4
Agora, precisamos expressar
na base
. Isso significa encontrar escalares
e
tais que:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação multiplicada por 3 da segunda:
Então,
. Logo,
.
Passo 5
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 6
Vamos repetir o processo para o segundo vetor de
:
.
Calculando:
Calculando:
Passo 7
Expressando
na base
:
Sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Subtraindo da segunda equação:
Então,
. Logo,
.
Passo 8
As coordenadas de
na base
são
.
Passo 9
Por fim, aplicamos
ao terceiro vetor de
:
.
Calculando:
Calculando:
Passo 10
Expressando
na base
:
Sistema:
Multiplicando a primeira equação por 3:
Subtraindo da segunda equação:
Então,
. Logo,
.
Passo 11
As coordenadas de
na base
são
.
Resposta
A matriz da transformação
na base
de
e na base
de
é: