Use a definição para calcular os determinantes:
(a) |llll0 & 0 & 1 & 3 0 & 1 & 3 & 1 1 & 3 & 1 & 0 3 & 1 & 0 & 0| (b) |ccccc5 & 0 & 0 & 0 & -3 0 & -1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & -1 & 0 -3 & 0 & 0 & 0 & 1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver os determinantes dos matrizes que você enviou. A questão pede para usar a definição de determinante, que envolve somar os produtos de certas elementos da matriz com os sinais correspondentes. Vamos precisar entender um pouco sobre permutação e como aplicar a definição para matrizes de ordem 4 e 5. Vamos lá!

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz (a):
0 & 0 & 1 & 3 0 & 1 & 3 & 1 1 & 3 & 1 & 0 3 & 1 & 0 & 0
Perceba que tem vários zeros, o que vai facilitar nossa vida na hora de calcular o determinante usando a definição.

Passo 3

A definição de determinante para uma matriz 4x4 envolve somar todos os produtos possíveis de 4 elementos, um de cada linha e coluna, multiplicados pelo sinal da permutação correspondente. Porém, como temos muitos zeros, vamos focar apenas nos termos que não anulam.

Passo 4

Vamos identificar os termos não nulos:
  1. Primeira linha: Os elementos não nulos são 1 e 3 na terceira e quarta coluna.
  2. Segunda linha: Todos os elementos são não nulos.
  3. Terceira linha: Todos os elementos são não nulos.
  4. Quarta linha: Todos os elementos são não nulos.
Vamos escolher termos que não se repetem nas colunas.

Passo 5

Vamos considerar as permutações possíveis:
  • Escolhemos o elemento 1 (linha 1, coluna 3).
  • Escolhemos o elemento 1 (linha 2, coluna 2).
  • Escolhemos o elemento 1 (linha 3, coluna 3) → Mas já usamos a coluna 3 na primeira linha, então não pode.
  • Escolhemos o elemento 0 (linha 3, coluna 4) → Anula.
Então, essa permutação não funciona. Vamos tentar outra.
  • Escolhemos o elemento 3 (linha 1, coluna 4).
  • Escolhemos o elemento 1 (linha 2, coluna 2).
  • Escolhemos o elemento 1 (linha 3, coluna 3).
  • Escolhemos o elemento 3 (linha 4, coluna 1).
Essa permutação funciona!

Passo 6

Agora, calculamos o produto desses elementos:
3 (linha 1, coluna 4) times 1 (linha 2, coluna 2) times 1 (linha 3, coluna 3) times 3 (linha 4, coluna 1) = 3 times 1 times 1 times 3 = 9
Precisamos verificar o sinal dessa permutação. A permutação (4,2,3,1) tem sinal positivo (paridade par).
Então, o determinante é 9.

Parte (b)

Passo 7

Agora, vamos para a matriz (b):
5 & 0 & 0 & 0 & -3 0 & -1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 4 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & -1 & 0 -3 & 0 & 0 & 0 & 1
Note que essa matriz tem muitos zeros, o que facilita bastante o cálculo do determinante usando a definição.

Passo 8

Assim como antes, a definição de determinante para uma matriz 5x5 envolve considerar todas as permutações possíveis, mas com tantos zeros, vamos focar nas que realmente contribuem.

Passo 9

Observando os zeros, percebemos que:
  • Na primeira linha, apenas os elementos 5 e -3 são não nulos.
  • Na segunda linha, apenas -1 e 2 são não nulos.
  • Na terceira linha, apenas 4 é não nulo.
  • Na quarta linha, apenas 2 e -1 são não nulos.
  • Na quinta linha, apenas -3 e 1 são não nulos.
Vamos buscar uma permutação onde escolhemos um elemento não nulo de cada linha e coluna diferente.

Passo 10

Vamos tentar a seguinte permutação:
  • 5 (linha 1, coluna 1)
  • -1 (linha 2, coluna 2)
  • 4 (linha 3, coluna 3)
  • -1 (linha 4, coluna 4)
  • 1 (linha 5, coluna 5)
Essa é uma permutação válida, onde escolhemos elementos de colunas distintas e não nulas.

Passo 11

Calculamos o produto desses elementos:
5 times (-1) times 4 times (-1) times 1 = 5 times (-1) = -5 -5 times 4 = -20 -20 times (-1) = 20 20 times 1 = 20
Agora, verificamos o sinal dessa permutação. Como a permutação é a identidade (nenhuma troca), o sinal é positivo.
Então, o determinante é 20.

Resposta

(a) O determinante é .
(b) O determinante é .

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