Beleza, vamos resolver os determinantes dos matrizes que você enviou. A questão pede para usar a definição de determinante, que envolve somar os produtos de certas elementos da matriz com os sinais correspondentes. Vamos precisar entender um pouco sobre permutação e como aplicar a definição para matrizes de ordem 4 e 5. Vamos lá!
Perceba que tem vários zeros, o que vai facilitar nossa vida na hora de calcular o determinante usando a definição.
Passo 3
A definição de determinante para uma matriz 4x4 envolve somar todos os produtos possíveis de 4 elementos, um de cada linha e coluna, multiplicados pelo sinal da permutação correspondente. Porém, como temos muitos zeros, vamos focar apenas nos termos que não anulam.
Passo 4
Vamos identificar os termos não nulos:
Primeira linha: Os elementos não nulos são 1 e 3 na terceira e quarta coluna.
Segunda linha: Todos os elementos são não nulos.
Terceira linha: Todos os elementos são não nulos.
Quarta linha: Todos os elementos são não nulos.
Vamos escolher termos que não se repetem nas colunas.
Passo 5
Vamos considerar as permutações possíveis:
Escolhemos o elemento 1 (linha 1, coluna 3).
Escolhemos o elemento 1 (linha 2, coluna 2).
Escolhemos o elemento 1 (linha 3, coluna 3) → Mas já usamos a coluna 3 na primeira linha, então não pode.
Escolhemos o elemento 0 (linha 3, coluna 4) → Anula.
Então, essa permutação não funciona. Vamos tentar outra.
Escolhemos o elemento 3 (linha 1, coluna 4).
Escolhemos o elemento 1 (linha 2, coluna 2).
Escolhemos o elemento 1 (linha 3, coluna 3).
Escolhemos o elemento 3 (linha 4, coluna 1).
Essa permutação funciona!
Passo 6
Agora, calculamos o produto desses elementos:
3 (linha 1, coluna 4) times 1 (linha 2, coluna 2) times 1 (linha 3, coluna 3) times 3 (linha 4, coluna 1) = 3 times 1 times 1 times 3 = 9
Precisamos verificar o sinal dessa permutação. A permutação (4,2,3,1) tem sinal positivo (paridade par).
Note que essa matriz tem muitos zeros, o que facilita bastante o cálculo do determinante usando a definição.
Passo 8
Assim como antes, a definição de determinante para uma matriz 5x5 envolve considerar todas as permutações possíveis, mas com tantos zeros, vamos focar nas que realmente contribuem.
Passo 9
Observando os zeros, percebemos que:
Na primeira linha, apenas os elementos 5 e -3 são não nulos.
Na segunda linha, apenas -1 e 2 são não nulos.
Na terceira linha, apenas 4 é não nulo.
Na quarta linha, apenas 2 e -1 são não nulos.
Na quinta linha, apenas -3 e 1 são não nulos.
Vamos buscar uma permutação onde escolhemos um elemento não nulo de cada linha e coluna diferente.
Passo 10
Vamos tentar a seguinte permutação:
5 (linha 1, coluna 1)
-1 (linha 2, coluna 2)
4 (linha 3, coluna 3)
-1 (linha 4, coluna 4)
1 (linha 5, coluna 5)
Essa é uma permutação válida, onde escolhemos elementos de colunas distintas e não nulas.
Passo 11
Calculamos o produto desses elementos:
5 times (-1) times 4 times (-1) times 1 = 5 times (-1) = -5 -5 times 4 = -20 -20 times (-1) = 20 20 times 1 = 20
Agora, verificamos o sinal dessa permutação. Como a permutação é a identidade (nenhuma troca), o sinal é positivo.