Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e queremos saber se ele é uma base para o espaço . Para isso, precisamos verificar duas coisas importantes da Álgebra Linear:
Geração (ou Espaço Gerado): Se os vetores de conseguem gerar todo o espaço .
Independência Linear: Se os vetores de são linearmente independentes, ou seja, nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
a) a t^2 + b t + c gera a t^2 + b t + c = c1(t^2 + 1) + c2(t - 1) + c3(2t + 2) ?
Para verificar se a t^2 + b t + c = c1 t^2 + c1 + c2 t - c2 + 2 c3 t + 2 c3 gera a t^2 + b t + c = c1 t^2 + (c2 + 2 c3) t + (c1 - c2 + 2 c3) , precisamos mostrar que qualquer vetor (ou polinômio, nesse caso) em c1 = a c2 + 2 c3 = b c1 - c2 + 2 c3 = c pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de 1 & 0 & 0 & | & a 0 & 1 & 2 & | & b 1 & -1 & 2 & | & c .
Vamos considerar um polinômio genérico de segundo grau:
Queremos encontrar constantes tais que:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Podemos representar esse sistema na forma de uma matriz aumentada:
Vamos resolver essa matriz para encontrar .
Passo 3
Aplicando operações de linha para simplificar a matriz:
1 & 0 & 0 & | & a 0 & 1 & 2 & | & b 1 & -1 & 2 & | & c sim 1 & 0 & 0 & | & a 0 & 1 & 2 & | & b 0 & -1 & 2 & | & c - a
Agora, somamos a segunda linha com a terceira para eliminar o -1:
1 & 0 & 0 & | & a 0 & 1 & 2 & | & b 0 & 0 & 4 & | & b + c - a
Da última linha, temos:
4 c3 = b + c - a implies c3 = b + c - a4
Substituindo c2 + 2 ( b + c - a4 ) = b c2 + b + c - a2 = b c2 = b - b + c - a2 = 2b - b - c + a2 = b - c + a2 na segunda equação:
c1 = a
E da primeira equação:
Então, encontramos soluções para em termos de .
Passo 4
Como encontramos soluções para quaisquer , isso significa que qualquer polinômio de segundo grau pode ser gerado por combinações lineares dos vetores de . Portanto, gera .
Passo 5
b) 0 t^2 + 0 t + 0 = c1(t^2 + 1) + c2(t - 1) + c3(2t + 2) é linearmente independente?
Para verificar a independência linear, precisamos ver se a única solução para a combinação linear igual a zero é 0 = c1 t^2 + c1 + c2 t - c2 + 2 c3 t + 2 c3 .