Definição: Os elementos
,
de um espaço vetorial
formam uma base para E se:
a)
geram
b)
são LI
a)
b)
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido. Temos um espaço vetorial
e uma lista de vetores
. A questão nos diz que esses vetores formam uma base para
se duas condições forem atendidas:
a) Eles geram
.
b) Eles são linearmente independentes (LI).
Vamos entender cada uma dessas condições para saber por que juntas garantem que esses vetores formam uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre gerar o espaço vetorial
. Dizer que os vetores
geram
significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Em termos simples, isso quer dizer que não tem nenhum vetor em
que “fuja” dessa lista de vetores
.
Matematicamente, isso se expressa assim:
onde
é o campo sobre o qual o espaço vetorial é definido (como os números reais).
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa que os vetores são linearmente independentes (LI). Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear não trivial deles resulta no vetor zero. Ou seja, a única solução para a equação:
é quando todos os coeficientes
são zero.
Isso garante que nenhum vetor na lista
pode ser escrito como uma combinação dos outros. Se isso não acontecesse, teríamos vetores redundantes na nossa lista, o que não é desejável em uma base.
Passo 4
Então, combinando essas duas condições:
-
Geração: As combinações lineares dos vetores
cobrem todo o espaço vetorial . -
Independência Linear: Não há vetores redundantes na lista; cada vetor adiciona algo novo, sem poder ser obtido a partir dos outros.
Essas duas condições juntas garantem que a lista de vetores
seja a mais “eficiente” para descrever todo o espaço vetorial
, sem redundâncias.
Resposta
Portanto, os elementos
formam uma base para o espaço vetorial
se, e somente se, eles gerarem
e forem linearmente independentes.