S gera E? (ou seja gera as matrizes ? Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S?)
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico como combinação linear dos elementos de .
Assim, devemos verificar se para quaisquer valores e , a equação acima tem solução. Ou seja, o sistema linear abaixo tem solução?
Pelo Método de Eliminação de Gauss, temos
Como o pivô (азхз) é igual a zero, trocamos a linha 3 com uma abaixo (é um procedimento do Método de Eliminação de Gauss, mas a análise poderia ser feita sem ele)
Ou seja, o sistema é impossível , exceto quando .
Assim, S não gera E.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta se o conjunto de matrizes gera todo o espaço das matrizes . Ou seja, queremos saber se qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes em . Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica . Queremos ver se conseguimos encontrar coeficientes tais que:
Passo 3
Vamos expandir a combinação linear:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Para resolver esse sistema, vamos montar a matriz aumentada e aplicar o Método de Eliminação de Gauss:
Primeiro, eliminamos os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição [1,1]):
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, subtraímos a primeira linha da quarta linha:
Passo 5
Continuando a eliminação, vamos subtrair a segunda linha da terceira e da quarta linha para eliminar o segundo pivô:
Terceira linha menos a segunda linha:
Passo 6
Analisando a matriz resultante, observamos que:
A terceira equação é .
A quarta equação é .
Para que o sistema tenha solução, as equações devem ser compatíveis. Isso significa que as condições e devem ser satisfeitas simultaneamente.
Passo 7
Como as condições e não são verdadeiras para quaisquer valores de , o sistema nem sempre tem solução. Portanto, nem toda matriz pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes em .
Resposta
Não, o conjunto não gera todo o espaço das matrizes , pois apenas matrizes que satisfazem e podem ser escritas como combinação linear dos elementos de .