S=(ll 1 & 0 2 & 1 ),(ll 1 & 1 3 & 0 ),(ll 1 & 0 2 & 1 ),(ll 0 & 1 1 & 1 )
S gera E? (ou seja gera as matrizes 2 times 2 ? Qualquer matriz 2 times 2 pode ser escrita como uma combinação linear dos elementos de S?)
Para verificar, tentaremos escrever o elemento genérico (lla & b c & d) como combinação linear dos elementos de S.
(ll a & b c & d )=c 1(ll 1 & 0 2 & 1 )+c 2(ll 1 & 1 3 & 0 )+c 3(ll 1 & 0 2 & 1 )+c 4(ll 0 & 1 1 & 1 )
Assim, devemos verificar se para quaisquer valores a, b, c e d, a equação acima tem solução. Ou seja, o sistema linear abaixo tem solução?
l c 1+c 2+c 3=a c 2+c 4=b 2 c 1+3 c 2+2 c 3+c 4=c c 1+c 3+c 4=d
Pelo Método de Eliminação de Gauss, temos
(ccccc 1 & 1 & 1 & 0 & a 0 & 1 & 0 & 1 & b 2 & 3 & 2 & 1 & c 1 & 0 & 1 & 1 & d ) sim(ccccc 1 & 1 & 1 & 0 & a 0 & 1 & 0 & 1 & b 0 & 1 & 0 & 1 & c-2 a 0 & -1 & 0 & 1 & d-a ) sim(ccccc 1 & 1 & 1 & 0 & a 0 & 1 & 0 & 1 & b 0 & 0 & 0 & 0 & c-2 a-b 0 & 0 & 0 & 2 & d-a+b )
Como o pivô (азхз) é igual a zero, trocamos a linha 3 com uma abaixo (é um procedimento do Método de Eliminação de Gauss, mas a análise poderia ser feita sem ele)
(ccccc 1 & 1 & 1 & 0 & a 0 & 1 & 0 & 1 & b 0 & 0 & 0 & 2 & d-a+b 0 & 0 & 0 & 0 & c-2 a-b )
Ou seja, o sistema é impossível 0 c4=d-a+b, exceto quando d-a+b=0.
Assim, S não gera E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pergunta se o conjunto de matrizes gera todo o espaço das matrizes . Ou seja, queremos saber se qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes em . Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica a & b c & d . Queremos ver se conseguimos encontrar coeficientes a & b c & d = c1 1 & 0 2 & 1 + c2 1 & 1 3 & 0 + c3 1 & 0 2 & 1 + c4 0 & 1 1 & 1 tais que:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
a & b c & d = c1 + c2 + c3 & c2 + c4 2c1 + 3c2 + 2c3 + c4 & c1 + c3 + c4
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 + c3 = a c2 + c4 = b 2c1 + 3c2 + 2c3 + c4 = c c1 + c3 + c4 = d

Passo 4

Para resolver esse sistema, vamos montar a matriz aumentada e aplicar o Método de Eliminação de Gauss:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 0 & a 0 & 1 & 0 & 1 & b 2 & 3 & 2 & 1 & c 1 & 0 & 1 & 1 & d )
Primeiro, eliminamos os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição [1,1]):
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 0 & a 0 & 1 & 0 & 1 & b 0 & 1 & 0 & 1 & c - 2a 1 & 0 & 1 & 1 & d )
Agora, subtraímos a primeira linha da quarta linha:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 0 & a 0 & 1 & 0 & 1 & b 0 & 1 & 0 & 1 & c - 2a 0 & -1 & 0 & 1 & d - a )

Passo 5

Continuando a eliminação, vamos subtrair a segunda linha da terceira e da quarta linha para eliminar o segundo pivô:
Terceira linha menos a segunda linha:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 0 & a 0 & 1 & 0 & 1 & b 0 & 0 & 0 & 0 & c - 2a - b 0 & 0 & 0 & 2 & d - a + b )

Passo 6

Analisando a matriz resultante, observamos que:
  • A terceira equação é .
  • A quarta equação é .
Para que o sistema tenha solução, as equações devem ser compatíveis. Isso significa que as condições e devem ser satisfeitas simultaneamente.

Passo 7

Como as condições e não são verdadeiras para quaisquer valores de , o sistema nem sempre tem solução. Portanto, nem toda matriz pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes em .

Resposta

Não, o conjunto não gera todo o espaço das matrizes , pois apenas matrizes que satisfazem e podem ser escritas como combinação linear dos elementos de .

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