21
Calcule
onde
é a região delimitada por
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é delimitada por
,
e
.
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver o problema. Precisaremos entender como determinar os limites de integração e como integrar funções envolvendo trigonometria e raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Sabemos que:
-
é o eixo y. -
é uma linha horizontal. -
é uma parábola que abre para a direita.
Vamos esboçar essa região para visualizar melhor os limites de integração.
Passo 3
Ao esboçar a região
, vemos que
varia de 0 até
. Para cada valor de
nesse intervalo,
varia de 0 até
.
Então, os limites de integração são:
-
de 0 a -
de 0 a
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral dupla usando esses limites:
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, a integral em relação a
.
Passo 5
Focando na integral interna:
Podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos chamar
. Então,
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Simplificando, a
cancela:
Passo 7
Agora, calculamos a integral de
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral dupla:
Agora, vamos resolver essa integral em relação a
.
Passo 9
Calculando a integral:
A integral de 1 em relação a
é simplesmente
, e a integral de
é
.
Passo 10
Aplicando os limites:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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© .
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(d)
(d)
26
Calcule
Calcule
onde
é o elipse
.
31
Calcule a área da região delimitada por e
.
Calcule a área da região delimitada por