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Calcule
integral duplaR raizy sen(x raizy) d x d y
onde R é a região delimitada por x=0, y=pi / 2 e x=raizy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR raizy cdot sin(x raizy) , dx , dy
onde a região é delimitada por , e .
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver o problema. Precisaremos entender como determinar os limites de integração e como integrar funções envolvendo trigonometria e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Sabemos que:
  • é o eixo y.
  • é uma linha horizontal.
  • é uma parábola que abre para a direita.
Vamos esboçar essa região para visualizar melhor os limites de integração.

Passo 3

Ao esboçar a região , vemos que varia de 0 até . Para cada valor de nesse intervalo, varia de 0 até .
Então, os limites de integração são:
  • de 0 a
  • de 0 a

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla usando esses limites:
integral0^pi2 integral0^raizy raizy cdot sin(x raizy) , dx , dy
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, a integral em relação a .

Passo 5

Focando na integral interna:
integral0^raizy raizy cdot sin(x raizy) , dx
Podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos chamar . Então, , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral:
integral0^raizy raizy cdot sin(x raizy) , dx = integral0^y sin(u) , duraizy cdot raizy = integral0^y sin(u) , du
Simplificando, a integral0^y sin(u) , du cancela:

Passo 7

Agora, calculamos a integral de integral sin(u) , du = -cos(u) + C :
- cos(y) + cos(0) = -cos(y) + 1
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral dupla:
integral0^pi2 (1 - cos(y)) , dy
Agora, vamos resolver essa integral em relação a .

Passo 9

Calculando a integral:
integral0^pi2 1 , dy - integral0^pi2 cos(y) , dy
A integral de 1 em relação a é simplesmente , e a integral de é .

Passo 10

Aplicando os limites:
[ y ]0^pi2 - [ sin(y) ]0^pi2 = ( pi2 - 0 ) - ( sin(pi2) - sin(0) )
Sabemos que pi2 - (1 - 0) = pi2 - 1 e , então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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