Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de Derivadas Parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas em relação a
e
, e depois derivar essas primeiras derivadas novamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem. Isso significa derivar a função
em relação a
mantendo
constante, e depois em relação a
mantendo
constante.
-
Derivada parcial em relação a
: Aqui,é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a . -
Derivada parcial em relação a
: Neste caso, a derivada deem relação a é , e a derivada de é 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar novamente as derivadas parciais que encontramos no passo anterior.
-
Derivada parcial de segunda ordem em relação a
duas vezes ( ): Comonão depende de , a derivada é zero. -
Derivada parcial de segunda ordem primeiro em
depois em ( ): Aqui, derivandoem relação a , obtemos . -
Derivada parcial de segunda ordem primeiro em
depois em ( ): Derivandoem relação a , temos . Observação: Geralmente,se as derivadas forem contínuas, o que acontece aqui. -
Derivada parcial de segunda ordem em relação a
duas vezes ( ): A derivada deem relação a é , e a derivada de 1 é zero.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
7
Expresse e calcule
no valor dado de
:
(a) ,
Expresse
(a)
Encontre
e
:
(j)
(j)
Encontre a linearização
no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo
:
© .
©
21
Calcule
Calcule
onde
é a região delimitada por
e
.