Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente de Derivadas Parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas em relação a e , e depois derivar essas primeiras derivadas novamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem. Isso significa derivar a função em relação a mantendo constante, e depois em relação a mantendo constante.
  • Derivada parcial em relação a :
    Aqui, é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a .
  • Derivada parcial em relação a :
    Neste caso, a derivada de em relação a é , e a derivada de é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar novamente as derivadas parciais que encontramos no passo anterior.
  • Derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes ( ):
    Como não depende de , a derivada é zero.
  • Derivada parcial de segunda ordem primeiro em depois em ( ):
    Aqui, derivando em relação a , obtemos .
  • Derivada parcial de segunda ordem primeiro em depois em ( ):
    Derivando em relação a , temos .
    Observação: Geralmente, se as derivadas forem contínuas, o que acontece aqui.
  • Derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes ( ):
    A derivada de em relação a é , e a derivada de 1 é zero.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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7
Expresse e calcule no valor dado de :
(a) ,
Encontre e :
(j)
Encontre a linearização no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo :
© .
21
Calcule
onde é a região delimitada por e .