31
Calcule a área da região delimitada por
e
.
Calcule a área da região delimitada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área! O enunciado pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Isso nos ajuda a determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações duas a duas.
Interseção entre
e
:
Então,
ou
. A solução real é apenas
.
Interseção entre
e
:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
Tentamos encontrar uma raiz real. Testando
:
Então,
é uma raiz. Dividindo o polinômio por
, temos:
As outras raízes são complexas, então a única interseção real é
.
Interseção entre
e
:
Multiplicando por 3:
Então,
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, sabemos que:
- Entre
e , as curvas são e . - Entre
e , as curvas são e .
Vamos dividir a área em duas partes para facilitar:
- Área 1: De
a , entre e . - Área 2: De
a , entre e .
Passo 4
Vamos calcular cada área separadamente usando a fórmula da integral definida:
Área 1:
Entre e
, a função de cima é
e a de baixo é
.
Entre
Integrando:
Calculando de
a
:
Área 2:
Entre e
, a função de cima é
e a de baixo é
.
Entre
Integrando:
Calculando de
a
:
Resposta
Somando as duas áreas:
Então, a área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
26
Calcule
Calcule
onde
é o elipse
.
21
Calcule
Calcule
onde
é a região delimitada por
e
.
8
(a) Suponha que seja diferenciável e que a equação
defina
como uma função diferenciável de
. Mostre que em qualquer ponto onde
, temos
(a) Suponha que
9
(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação determinar
como uma
função diferenciável de e
, então, em pontos onde
, temos
(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação
função diferenciável de