31
Calcule a área da região delimitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área! O enunciado pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas , e . Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Isso nos ajuda a determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações duas a duas.
Interseção entre e :
Então, ou . A solução real é apenas .
Interseção entre e :
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
Tentamos encontrar uma raiz real. Testando :
Então, é uma raiz. Dividindo o polinômio por , temos:
As outras raízes são complexas, então a única interseção real é .
Interseção entre e :
Multiplicando por 3:
Então, .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, sabemos que:
  • Entre e , as curvas são e .
  • Entre e , as curvas são e .
Vamos dividir a área em duas partes para facilitar:
  1. Área 1: De a , entre e .
  2. Área 2: De a , entre e .

Passo 4

Vamos calcular cada área separadamente usando a fórmula da integral definida:
Áçãçã
Área 1:
Entre e , a função de cima é e a de baixo é .
Á
Integrando:
Calculando de a :
Á
Área 2:
Entre e , a função de cima é e a de baixo é .
Á
Integrando:
Calculando de a :
Á

Resposta

Somando as duas áreas:
ÁÁÁ
Então, a área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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26
Calcule
onde é o elipse .
21
Calcule
onde é a região delimitada por e .
8
(a) Suponha que seja diferenciável e que a equação defina como uma função diferenciável de . Mostre que em qualquer ponto onde , temos
9
(a) Mostre que o resultado do exercício anterior pode ser generalizado para funções de três variáveis, isto é: Se a equação determinar como uma
função diferenciável de e , então, em pontos onde , temos