Encontre a linearização
no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo
:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a linearização da função
no ponto
e o erro da aproximação linear dentro do retângulo onde
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da linearização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a linearização. A linearização de uma função em um ponto é basicamente a melhor aproximação linear (reta) dessa função perto desse ponto. A fórmula geral para a linearização
de uma função
no ponto
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
.
Esses valores são constantes porque a função é linear em
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da linearização, temos:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Olha só que interessante: a linearização
ficou igual à função original
. Isso acontece porque
já é uma função linear, ou seja, ela própria é sua melhor aproximação linear.
Passo 7
Agora, sobre o erro da aproximação linear. O erro é a diferença entre a função real e sua linearização. No nosso caso:
Isso significa que a aproximação linear é exata para essa função no ponto dado e dentro do retângulo especificado.
Resposta
A linearização da função no ponto
é
e o erro da aproximação linear é zero.
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Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
(d)
(d)
7
Expresse e calcule
no valor dado de
:
(a) ,
Expresse
(a)
21
Calcule
Calcule
onde
é a região delimitada por
e
.
26
Calcule
Calcule
onde
é o elipse
.