Encontre a linearização no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo :
© .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a linearização da função no ponto e o erro da aproximação linear dentro do retângulo onde e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da linearização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a linearização. A linearização de uma função em um ponto é basicamente a melhor aproximação linear (reta) dessa função perto desse ponto. A fórmula geral para a linearização de uma função no ponto é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função .
Esses valores são constantes porque a função é linear em e .

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da linearização, temos:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 6

Olha só que interessante: a linearização ficou igual à função original . Isso acontece porque já é uma função linear, ou seja, ela própria é sua melhor aproximação linear.

Passo 7

Agora, sobre o erro da aproximação linear. O erro é a diferença entre a função real e sua linearização. No nosso caso:
Isso significa que a aproximação linear é exata para essa função no ponto dado e dentro do retângulo especificado.

Resposta

A linearização da função no ponto é e o erro da aproximação linear é zero.

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26
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