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Calcule
onde
é o elipse
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a elipse definida por
. Para resolver isso, vamos precisar usar mudança de coordenadas e entender um pouco sobre integrais duplas em regiões elípticas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a região de integração. A equação da elipse
pode ser transformada para facilitar os cálculos. Vamos fazer uma mudança de variável para transformar essa elipse em um círculo. Definimos:
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
Agora, a região
virou o círculo unitário no plano
.
Passo 3
Com a mudança de variáveis, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana para ajustar a área na integral. A matriz jacobiana da transformação é:
O determinante de
é:
Então, o diferencial de área
se transforma em
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral na nova coordenada:
Simplificando o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para facilitar ainda mais, vamos usar coordenadas polares no plano
. Definimos:
No sistema polar,
e o diferencial de área
. Assim, a integral vira:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Resposta
O valor da integral
é
.