26
Calcule
onde é o elipse .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral
onde é a elipse definida por . Para resolver isso, vamos precisar usar mudança de coordenadas e entender um pouco sobre integrais duplas em regiões elípticas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a região de integração. A equação da elipse pode ser transformada para facilitar os cálculos. Vamos fazer uma mudança de variável para transformar essa elipse em um círculo. Definimos:
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
Agora, a região virou o círculo unitário no plano .

Passo 3

Com a mudança de variáveis, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana para ajustar a área na integral. A matriz jacobiana da transformação é:
O determinante de é:
Então, o diferencial de área se transforma em .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral na nova coordenada:
Simplificando o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para facilitar ainda mais, vamos usar coordenadas polares no plano . Definimos:
No sistema polar, e o diferencial de área . Assim, a integral vira:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral externa:

Resposta

O valor da integral é .

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21
Calcule
onde é a região delimitada por e .
Encontre a linearização no ponto dado e o erro da aproximação linear padrão no rectângulo :
© .
31
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8
(a) Suponha que seja diferenciável e que a equação defina como uma função diferenciável de . Mostre que em qualquer ponto onde , temos