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Calcule
I=integral duplaR(4-4 x^2-2 y^2) d x d y
onde R é o elipse x^2+y^2 / 2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral
I = integral duplaR(4 - 4x^2 - 2y^2) , dx , dy
onde é a elipse definida por . Para resolver isso, vamos precisar usar mudança de coordenadas e entender um pouco sobre integrais duplas em regiões elípticas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a região de integração. A equação da elipse u = x v = yraiz2 pode ser transformada para facilitar os cálculos. Vamos fazer uma mudança de variável para transformar essa elipse em um círculo. Definimos:
u^2 + v^2 = 1
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
Agora, a região virou o círculo unitário no plano .

Passo 3

Com a mudança de variáveis, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana para ajustar a área na integral. A matriz jacobiana da transformação é:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 1 & 0 0 & raiz2
O determinante de |J| = 1 times raiz2 = raiz2 é:
Então, o diferencial de área se transforma em .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral na nova coordenada:
I = integral duplau^2+v^2 <= 1 (4 - 4u^2 - 2( raiz2 v )^2) raiz2 , du , dv
Simplificando o integrando:
4 - 4u^2 - 2 times 2 v^2 = 4 - 4u^2 - 4v^2 = 4 - 4(u^2 + v^2)
Então, a integral fica:
I = raiz2 integral duplau^2+v^2 <= 1 (4 - 4(u^2 + v^2)) , du , dv

Passo 5

Para facilitar ainda mais, vamos usar coordenadas polares no plano u = r cos theta v = r sin theta . Definimos:
I = raiz2 integral0^2pi integral0^1 (4 - 4r^2) r , dr , dtheta
No sistema polar, e o diferencial de área . Assim, a integral vira:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integral0^1 (4 - 4r^2) r , dr = integral0^1 4r - 4r^3 , dr :
= 4 [r^22]0^1 - 4 [r^44]0^1 = 4 (12) - 4 (14) = 2 - 1 = 1
Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
I = raiz2 integral0^2pi 1 , dtheta = raiz2 times 2pi = 2pi raiz2

Resposta

O valor da integral é .

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