- Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região entre os gráficos de
de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o volume de um sólido que é formado quando giramos uma região em torno da reta
. Essa região está entre os gráficos de
e
, de
até
. Para resolver isso, vamos usar o método dos anéis (ou discos), que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual das funções está por cima e qual está por baixo no intervalo de
que estamos considerando, de
a
. Sabemos que
é sempre maior ou igual a
nesse intervalo porque
está entre 0 e 1, e ao elevar ao cubo, o valor diminui.
Passo 3
Agora, vamos usar o método dos anéis. Esse método calcula o volume de um sólido de rotação subtraindo a área de um anel interno da área de um anel externo, multiplicado pela espessura. As fórmulas para os raios são baseadas na distância de cada função até a reta de rotação, que é
no nosso caso.
Passo 4
Vamos definir os raios externo e interno:
- Raio Externo (
): distância de até , que é . - Raio Interno (
): distância de até , que é .
Passo 5
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Substituindo os limites de integração de
a
e os raios que definimos:
Passo 6
Vamos expandir os quadrados e simplificar a expressão dentro da integral:
Subtraindo as duas:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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