1. Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , da região entre os gráficos de de até .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o volume de um sólido que é formado quando giramos uma região em torno da reta . Essa região está entre os gráficos de e , de até . Para resolver isso, vamos usar o método dos anéis (ou discos), que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual das funções está por cima e qual está por baixo no intervalo de que estamos considerando, de a . Sabemos que é sempre maior ou igual a nesse intervalo porque está entre 0 e 1, e ao elevar ao cubo, o valor diminui.

Passo 3

Agora, vamos usar o método dos anéis. Esse método calcula o volume de um sólido de rotação subtraindo a área de um anel interno da área de um anel externo, multiplicado pela espessura. As fórmulas para os raios são baseadas na distância de cada função até a reta de rotação, que é no nosso caso.

Passo 4

Vamos definir os raios externo e interno:
  • Raio Externo ( ): distância de até , que é .
  • Raio Interno ( ): distância de até , que é .

Passo 5

A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
Substituindo os limites de integração de a e os raios que definimos:

Passo 6

Vamos expandir os quadrados e simplificar a expressão dentro da integral:
Subtraindo as duas:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Como volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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