Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
10.
10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 10 que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos identificar onde essas curvas se interceptam e então calcular a integral da diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas
e
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Isso nos dá as soluções
,
e
. Então, as curvas se interceptam nos pontos
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar essas curvas para entender qual está acima da outra no intervalo de interesse. A curva
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°, enquanto
é uma curva cúbica. Para
entre -1 e 1,
estará abaixo de
quando
e acima quando
.
Passo 4
Para calcular a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral da diferença entre as funções. No nosso caso, como as curvas se cruzam simetricamente em torno do eixo y, podemos calcular a área de um lado (por exemplo, de 0 a 1) e depois dobrar o resultado para obter a área total.
Passo 5
Vamos calcular a integral de
menos
de
a
:
O 2 é para considerar a simetria da área entre
e
.
Passo 6
Agora, resolvemos a integral:
Passo 7
Multiplicando pelo 2 devido à simetria:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.