Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
10. x = y^3 e x = y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 10 que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos identificar onde essas curvas se interceptam e então calcular a integral da diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Isso nos dá as soluções , e . Então, as curvas se interceptam nos pontos , e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar essas curvas para entender qual está acima da outra no intervalo de interesse. A curva é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°, enquanto é uma curva cúbica. Para entre -1 e 1, estará abaixo de quando e acima quando .

Passo 4

Para calcular a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral da diferença entre as funções. No nosso caso, como as curvas se cruzam simetricamente em torno do eixo y, podemos calcular a área de um lado (por exemplo, de 0 a 1) e depois dobrar o resultado para obter a área total.

Passo 5

Vamos calcular a integral de menos de a :
Á
O 2 é para considerar a simetria da área entre e .

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:

Passo 7

Multiplicando pelo 2 devido à simetria:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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