Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
21. e

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente de integração, para calcular a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde essas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre elas. Isso é essencial porque esses pontos vão definir os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção entre e .
Para isso, igualamos as duas funções:
Como e devem ser positivos para que as igualdades façam sentido, resolvemos:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. → Não tem solução.
Substituindo em , temos:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre e .
Igualando as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por (considerando ):
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá:
Já sabemos que . Para :
Então, temos dois pontos de interseção: e .

Passo 5

Agora, vamos determinar a região limitada pelas curvas. Observando os pontos de interseção e os gráficos das funções, percebemos que a área está entre e .
Para calcular a área, precisamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo e integrar a diferença entre elas.

Passo 6

Vamos analisar as funções no intervalo a :
  • Para , .
  • .
  • .
Vamos calcular os valores das funções em alguns pontos para ver qual está acima:
Por exemplo, em :
Aqui, está acima.
Em :
Aqui, e estão iguais.

Passo 7

Com isso, percebemos que a função está acima de no intervalo de a .
Portanto, a área é dada pela integral da diferença entre essas duas funções nesse intervalo:

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Integral:
Então, a antiderivada é:
Avaliada de a :
Simplificando:
Como :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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