Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
21.
e
21.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente de integração, para calcular a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde essas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre elas. Isso é essencial porque esses pontos vão definir os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos começar encontrando a interseção entre
e
.
Para isso, igualamos as duas funções:
Como
e
devem ser positivos para que as igualdades façam sentido, resolvemos:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
→ Não tem solução. -
→ → →
Substituindo
em
, temos:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção entre
e
.
Igualando as duas funções:
Multiplicando ambos os lados por
(considerando
):
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá:
Já sabemos que
dá
. Para
:
Então, temos dois pontos de interseção:
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a região limitada pelas curvas. Observando os pontos de interseção e os gráficos das funções, percebemos que a área está entre
e
.
Para calcular a área, precisamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo e integrar a diferença entre elas.
Passo 6
Vamos analisar as funções no intervalo
a
:
- Para
, . -
. -
.
Vamos calcular os valores das funções em alguns pontos para ver qual está acima:
Por exemplo, em
:
Aqui,
está acima.
Em
:
Aqui,
e
estão iguais.
Passo 7
Com isso, percebemos que a função
está acima de
no intervalo de
a
.
Portanto, a área
é dada pela integral da diferença entre essas duas funções nesse intervalo:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Integral:
Então, a antiderivada é:
Avaliada de
a
:
Simplificando:
Como
:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.
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