Nos exercícios 11 a 16, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados
11.
; ao redor do eixo dos
11.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo dos
. Para resolver isso, vamos usar o Método dos Discos, que é uma técnica da Cálculo Integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva
é uma reta que intercepta o eixo
em
e o eixo
quando
. Vamos descobrir onde a reta cruza o eixo
:
Então, a região delimitada está entre
e
, mas precisamos prestar atenção que para
, a função
fica abaixo do eixo
. Porém, como estamos interessados no volume, o raio do disco será sempre não negativo, então não precisamos nos preocupar com isso agora.
Passo 3
Vamos aplicar o Método dos Discos. A fórmula para o volume
quando giramos uma função
em torno do eixo
é:
Aqui,
,
e
. Portanto, nosso volume será:
Passo 4
Vamos expandir a expressão
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral termo a termo:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos calculando um volume definido entre 0 e 4, podemos ignorar
.
Passo 6
Vamos avaliar a integral de 0 a 4:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O volume do sólido de revolução é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
15.
15.
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
28. e
28.
- Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta
, da região entre os gráficos de de até .
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
10.
10.