Nos exercícios 11 a 16, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados
11. ; ao redor do eixo dos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas , , e em torno do eixo dos . Para resolver isso, vamos usar o Método dos Discos, que é uma técnica da Cálculo Integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. A curva é uma reta que intercepta o eixo em e o eixo quando . Vamos descobrir onde a reta cruza o eixo :
Então, a região delimitada está entre e , mas precisamos prestar atenção que para , a função fica abaixo do eixo . Porém, como estamos interessados no volume, o raio do disco será sempre não negativo, então não precisamos nos preocupar com isso agora.

Passo 3

Vamos aplicar o Método dos Discos. A fórmula para o volume quando giramos uma função em torno do eixo é:
Aqui, , e . Portanto, nosso volume será:

Passo 4

Vamos expandir a expressão :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral termo a termo:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos calculando um volume definido entre 0 e 4, podemos ignorar .

Passo 6

Vamos avaliar a integral de 0 a 4:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

O volume do sólido de revolução é:
ú

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