Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
15.
15.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a integral que representa o comprimento do arco da curva
no intervalo de
. Aqui, estamos lidando com o cálculo de comprimento de arco, que faz parte da matéria de Cálculo Diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por uma função
. A fórmula é:
Isso significa que vamos integrar, de
a
, a raiz quadrada de 1 mais o quadrado da derivada da função.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. A derivada de
em relação a
é:
Então, o que temos dentro da raiz na fórmula do comprimento de arco será
.
Passo 4
Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento de arco e definimos os limites de integração de 0 a 2:
Simplificando dentro da raiz:
Resposta
A integral que dá o comprimento de arco da curva
de
a
é: