Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
15. y = x^2, 0 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a integral que representa o comprimento do arco da curva no intervalo de . Aqui, estamos lidando com o cálculo de comprimento de arco, que faz parte da matéria de Cálculo Diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por uma função . A fórmula é:
Isso significa que vamos integrar, de a , a raiz quadrada de 1 mais o quadrado da derivada da função.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . A derivada de em relação a é:
Então, o que temos dentro da raiz na fórmula do comprimento de arco será .

Passo 4

Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento de arco e definimos os limites de integração de 0 a 2:
Simplificando dentro da raiz:

Resposta

A integral que dá o comprimento de arco da curva de a é:

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