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Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear que leva o plano na reta .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma transformação linear que leva o plano para a reta . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação na base canônica. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformação linear, matrizes associadas e como elas atuam em subespaços como planos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz que, quando multiplicada por um vetor, nos dá o vetor transformado. No nosso caso, queremos que todo ponto do plano seja mapeado para a reta . Isso significa que deve “achatar” o plano em uma linha específica.
Passo 3
Vamos identificar uma base para o plano . O plano pode ser descrito por dois vetores independentes. Podemos escolher, por exemplo, e . Esses vetores satisfazem a equação do plano e são linearmente independentes.
Passo 4
Como leva todo o plano para a reta , os vetores e devem ser mapeados para vetores que estão na direção de , ou seja, múltiplos de . Vamos escolher:
Isso garante que qualquer combinação linear de e seja mapeada para a reta .
Passo 5
Agora, precisamos definir como age no complemento do plano em . Esse complemento é unidimensional, já que é bidimensional. Vamos escolher um vetor que não está no plano , por exemplo, . Queremos que seja algum vetor em ; para simplificar, podemos escolher que ele seja mapeado para ele mesmo ou para outro vetor específico. Vamos escolher que .
Passo 6
Com os vetores transformados definidos, podemos montar a matriz de . Cada coluna da matriz será a imagem dos vetores da base canônica. Precisamos expressar , e em termos dos vetores transformados.
Sabemos que:
Usando as imagens que determinamos:
Resolvendo para , e :
Para facilitar, podemos construir a matriz diretamente considerando que dois vetores são mapeados para e o terceiro permanece inalterado.
Passo 7
Finalmente, a matriz de na base canônica será:
Resposta
A matriz da transformação linear T na base canônica é: