O que é uma matriz ortogonal?
Passo 1
Vamos entender o que é uma matriz ortogonal. Estamos falando de matrizes na álgebra linear e, para isso, vamos precisar conhecer conceitos como matriz, transposta, inversa e produto de matrizes.
Passo 2
Primeiro, uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada, ou seja, tem o mesmo número de linhas e colunas. Isso é importante porque só matrizes quadradas podem ter uma inversa que também seja uma matriz do mesmo tamanho.
Passo 3
A principal característica de uma matriz ortogonal
é que a sua transposta
é igual à sua inversa
. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 4
Essa propriedade implica que, ao multiplicar a matriz pela sua transposta, você obtém a matriz identidade
. Ou seja:
A matriz identidade
é aquela que não altera outros vetores quando multiplicada por ela, funcionando como o número 1 nas multiplicações.
Passo 5
Além disso, os vetores coluna (e linha) de uma matriz ortogonal são ortonormais. Isso significa que cada par de vetores coluna é perpendicular (produto interno igual a zero) e que cada vetor tem norma igual a 1. Essa propriedade é útil porque preserva ângulos e comprimentos durante transformações.
Resposta
Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada
cuja transposta é igual à sua inversa, ou seja,
. Isso significa que
, onde
é a matriz identidade. Além disso, os vetores coluna e linha de
são ortonormais, o que preserva ângulos e comprimentos nas transformações aplicadas pela matriz.
Exercícios relacionados
21
Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear que leva o plano
na reta
.
Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear
Sejam os pontos
e
. Determine o vetor
nos seguintes casos
Construir o gráfico correspondente a cada situação.
Construir o gráfico correspondente a cada situação.
Resuma os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz.
Sejam os pontos
e
. Determine o vetor
nos seguintes casos
Construir o gráfico correspondente a cada situação.
Construir o gráfico correspondente a cada situação.