O que é uma matriz ortogonal?

Passo 1

Vamos entender o que é uma matriz ortogonal. Estamos falando de matrizes na álgebra linear e, para isso, vamos precisar conhecer conceitos como matriz, transposta, inversa e produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada, ou seja, tem o mesmo número de linhas e colunas. Isso é importante porque só matrizes quadradas podem ter uma inversa que também seja uma matriz do mesmo tamanho.

Passo 3

A principal característica de uma matriz ortogonal Q é que a sua transposta Q^T é igual à sua inversa Q^-1. Matematicamente, isso é representado por:
Q^T = Q^-1

Passo 4

Essa propriedade implica que, ao multiplicar a matriz pela sua transposta, você obtém a matriz identidade I. Ou seja:
Q^T Q = Q Q^T = I
A matriz identidade I é aquela que não altera outros vetores quando multiplicada por ela, funcionando como o número 1 nas multiplicações.

Passo 5

Além disso, os vetores coluna (e linha) de uma matriz ortogonal são ortonormais. Isso significa que cada par de vetores coluna é perpendicular (produto interno igual a zero) e que cada vetor tem norma igual a 1. Essa propriedade é útil porque preserva ângulos e comprimentos durante transformações.

Resposta

Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada Q cuja transposta é igual à sua inversa, ou seja, Q^T = Q^-1. Isso significa que Q^T Q = Q Q^T = I, onde I é a matriz identidade. Além disso, os vetores coluna e linha de Q são ortonormais, o que preserva ângulos e comprimentos nas transformações aplicadas pela matriz.

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