Resuma os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que pede a questão. Você quer saber **quais são os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz**. Isso está relacionado à **álgebra linear**, especificamente ao estudo de matrizes simétricas e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como **autovalores**, **autovetores** e **matrizes ortogonais**.
Passo 2
O primeiro passo para diagonalizar ortogonalmente uma matriz é **verificar se a matriz é simétrica**. Uma matriz é simétrica se , onde é a transposta de . Matrizes simétricas têm propriedades especiais que permitem a diagonalização ortogonal.
Passo 3
Depois de confirmar que a matriz é simétrica, o próximo passo é **encontrar os autovalores** da matriz. Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.
Passo 4
Com os autovalores em mãos, **encontre os autovetores** correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolva a equação:
onde é o autovetor associado a .
Passo 5
Após encontrar todos os autovetores, **verifique se eles são ortogonais**. Em matrizes simétricas, os autovetores associados a diferentes autovalores são ortogonais entre si. Se não forem, você pode aplicar o processo de **gram-schmidt** para ortogonalizá-los.
Passo 6
Organize os autovetores **em uma matriz ortogonal** , onde cada coluna de é um autovetor ortonormal. Isso significa que .
Passo 7
Finalmente, a **matriz diagonal** é construída com os autovalores na diagonal principal. A diagonalização ortogonal é então dada por:
onde é a matriz ortogonal dos autovetores e é a matriz diagonal dos autovalores.
Resposta
Os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz são:
1. Verificar se a matriz é simétrica.
2. Encontrar os autovalores da matriz.
3. Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
4. Garantir que os autovetores sejam ortogonais.
5. Formar a matriz ortogonal com os autovetores.
6. Construir a matriz diagonal com os autovalores.
7. Expressar a matriz original como .
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