Resuma os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que pede a questão. Você quer saber **quais são os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz**. Isso está relacionado à **álgebra linear**, especificamente ao estudo de matrizes simétricas e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como **autovalores**, **autovetores** e **matrizes ortogonais**.

Passo 2

O primeiro passo para diagonalizar ortogonalmente uma matriz é **verificar se a matriz é simétrica**. Uma matriz é simétrica se , onde é a transposta de . Matrizes simétricas têm propriedades especiais que permitem a diagonalização ortogonal.

Passo 3

Depois de confirmar que a matriz é simétrica, o próximo passo é **encontrar os autovalores** da matriz. Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica: onde é a matriz identidade.

Passo 4

Com os autovalores em mãos, **encontre os autovetores** correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolva a equação: onde é o autovetor associado a .

Passo 5

Após encontrar todos os autovetores, **verifique se eles são ortogonais**. Em matrizes simétricas, os autovetores associados a diferentes autovalores são ortogonais entre si. Se não forem, você pode aplicar o processo de **gram-schmidt** para ortogonalizá-los.

Passo 6

Organize os autovetores **em uma matriz ortogonal** , onde cada coluna de é um autovetor ortonormal. Isso significa que .

Passo 7

Finalmente, a **matriz diagonal** é construída com os autovalores na diagonal principal. A diagonalização ortogonal é então dada por: onde é a matriz ortogonal dos autovetores e é a matriz diagonal dos autovalores.

Resposta

Os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz são: 1. Verificar se a matriz é simétrica. 2. Encontrar os autovalores da matriz. 3. Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. 4. Garantir que os autovetores sejam ortogonais. 5. Formar a matriz ortogonal com os autovetores. 6. Construir a matriz diagonal com os autovalores. 7. Expressar a matriz original como .

Exercícios relacionados

O que é uma matriz ortogonal?
21 Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear que leva o plano na reta .
Sejam os pontos e . Determine o vetor nos seguintes casos Construir o gráfico correspondente a cada situação.
25 Mostre que é uma base de . Encontre .