Resuma os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que pede a questão. Você quer saber quais são os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao estudo de matrizes simétricas e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e matrizes ortogonais.

Passo 2

O primeiro passo para diagonalizar ortogonalmente uma matriz é verificar se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se , onde é a transposta de . Matrizes simétricas têm propriedades especiais que permitem a diagonalização ortogonal.

Passo 3

Depois de confirmar que a matriz é simétrica, o próximo passo é encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade.

Passo 4

Com os autovalores em mãos, encontre os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada (A - lambda I)v = 0 , resolva a equação:
onde é o autovetor associado a .

Passo 5

Após encontrar todos os autovetores, verifique se eles são ortogonais. Em matrizes simétricas, os autovetores associados a diferentes autovalores são ortogonais entre si. Se não forem, você pode aplicar o processo de gram-schmidt para ortogonalizá-los.

Passo 6

Organize os autovetores em uma matriz ortogonal , onde cada coluna de é um autovetor ortonormal. Isso significa que .

Passo 7

Finalmente, a matriz diagonal A = Q D Q^T é construída com os autovalores na diagonal principal. A diagonalização ortogonal é então dada por:
onde é a matriz ortogonal dos autovetores e é a matriz diagonal dos autovalores.

Resposta

Os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz são:
  1. Verificar se a matriz é simétrica.
  2. Encontrar os autovalores da matriz.
  3. Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
  4. Garantir que os autovetores sejam ortogonais.
  5. Formar a matriz ortogonal com os autovetores.
  6. Construir a matriz diagonal com os autovalores.
  7. Expressar a matriz original como .

Exercícios relacionados