Resuma os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que pede a questão. Você quer saber quais são os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao estudo de matrizes simétricas e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e matrizes ortogonais.
Passo 2
O primeiro passo para diagonalizar ortogonalmente uma matriz é verificar se a matriz é simétrica. Uma matriz
é simétrica se
, onde
é a transposta de
. Matrizes simétricas têm propriedades especiais que permitem a diagonalização ortogonal.
Passo 3
Depois de confirmar que a matriz é simétrica, o próximo passo é encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são os valores
que satisfazem a equação característica:
onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Com os autovalores em mãos, encontre os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolva a equação:
onde
é o autovetor associado a
.
Passo 5
Após encontrar todos os autovetores, verifique se eles são ortogonais. Em matrizes simétricas, os autovetores associados a diferentes autovalores são ortogonais entre si. Se não forem, você pode aplicar o processo de gram-schmidt para ortogonalizá-los.
Passo 6
Organize os autovetores em uma matriz ortogonal
, onde cada coluna de
é um autovetor ortonormal. Isso significa que
.
Passo 7
Finalmente, a matriz diagonal
é construída com os autovalores na diagonal principal. A diagonalização ortogonal é então dada por:
onde
é a matriz ortogonal dos autovetores e
é a matriz diagonal dos autovalores.
Resposta
Os passos para diagonalizar ortogonalmente uma matriz são:
- Verificar se a matriz é simétrica.
- Encontrar os autovalores da matriz.
- Encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
- Garantir que os autovetores sejam ortogonais.
- Formar a matriz ortogonal
com os autovetores. - Construir a matriz diagonal
com os autovalores. - Expressar a matriz original como
.