21- Para o estado excitado para
e
:
(a) Mostre que a constante de normalização e dada por:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de mecânica quântica onde precisamos encontrar a constante de normalização para a função de onda de um estado excitado com os números quânticos
,
e
. O conteúdo envolve conceitos de normalização de funções de onda e integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda e utilizar integrais em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função de onda
estar normalizada, a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 3
A função de onda dada é:
Queremos encontrar
tal que:
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é:
Como a função de onda não depende de
e
, podemos integrar sobre esses ângulos facilmente.
Passo 6
A integral de normalização fica:
Passo 7
Calculando as integrais angulares:
Multiplicando:
Passo 8
Agora, a condição de normalização fica:
Passo 9
Vamos expandir o quadrado:
Substituindo na integral:
Passo 10
Vamos separar a integral em três partes:
Passo 11
Utilizamos a propriedade das integrais do tipo:
Onde
é o fatorial de
.
Passo 12
Aplicando essa fórmula:
Simplificando:
Passo 13
Voltando à condição de normalização:
Simplificando:
Passo 14
Extraindo a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A constante de normalização é:
Exercícios relacionados
6- Uma partícula que vive em uma dimensão espacial tem a função de onda
onde
e b são parâmetros reais (
). (b) Achar o valor esperado da coordenada x dessa partícula (como função de k e b).
Oscilador Harmônico
27-Mostre qual é a distância,
, mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado
e
. Nota: nesse estado a função de onda para o átomo de H é
com
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo: