21- Para o estado excitado para n=2, l=0 e m=0 :
psi200=C200(2-Z ra0) e^-Z r / 2 a0
(a) Mostre que a constante de normalização e dada por:
C200=1raiz32 pi(Za0)^3 / 2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica quântica onde precisamos encontrar a constante de normalização para a função de onda de um estado excitado com os números quânticos , e . O conteúdo envolve conceitos de normalização de funções de onda e integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda e utilizar integrais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função de onda integral |psi|^2 , dV = 1 estar normalizada, a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 3

A função de onda dada é:
psi200 = C200(2 - Z ra0) e^-Z r / (2 a0)
Queremos encontrar integral |psi200|^2 , dV = 1 tal que:

Passo 4

Vamos calcular |psi200|^2 = C200^2 (2 - Z ra0)^2 e^-Z r / a0 :

Passo 5

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Como a função de onda não depende de e , podemos integrar sobre esses ângulos facilmente.

Passo 6

A integral de normalização fica:
C200^2 integral0^infty (2 - Z ra0)^2 e^-Z r / a0 r^2 , dr times integral0^pi sintheta , dtheta times integral0^2pi dphi = 1

Passo 7

Calculando as integrais angulares:
integral0^pi sintheta , dtheta = 2
integral0^2pi dphi = 2pi
Multiplicando:
2 times 2pi = 4pi

Passo 8

Agora, a condição de normalização fica:
C200^2 times 4pi times integral0^infty (2 - Z ra0)^2 e^-Z r / a0 r^2 , dr = 1

Passo 9

Vamos expandir o quadrado:
(2 - Z ra0)^2 = 4 - 4Z ra0 + Z^2 r^2a0^2
Substituindo na integral:
integral0^infty (4 - 4Z ra0 + Z^2 r^2a0^2) e^-Z r / a0 r^2 , dr

Passo 10

Vamos separar a integral em três partes:
4 integral0^infty e^-Z r / a0 r^2 , dr - 4Za0 integral0^infty e^-Z r / a0 r^3 , dr + Z^2a0^2 integral0^infty e^-Z r / a0 r^4 , dr

Passo 11

Utilizamos a propriedade das integrais do tipo:
integral0^infty r^n e^-alpha r , dr = n!alpha^n+1
Onde é o fatorial de .

Passo 12

Aplicando essa fórmula:
4 times 2!(Z/a0)^3 - 4Za0 times 3!(Z/a0)^4 + Z^2a0^2 times 4!(Z/a0)^5
Simplificando:
4 times 2(Z/a0)^3 - 4Za0 times 6(Z/a0)^4 + Z^2a0^2 times 24(Z/a0)^5
= 8 a0^3Z^3 - 24 a0^3Z^3 + 24 a0^3Z^3 = 8 a0^3Z^3

Passo 13

Voltando à condição de normalização:
C200^2 times 4pi times 8 a0^3Z^3 = 1
Simplificando:
C200^2 = 132 pi (Za0)^3

Passo 14

Extraindo a raiz quadrada para encontrar C200 = 1raiz32 pi (Za0)^3/2 :

Resposta

A constante de normalização é:
C200 = 1raiz32 pi (Za0)^3/2

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