21- Para o estado excitado para e :
(a) Mostre que a constante de normalização e dada por:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica quântica onde precisamos encontrar a constante de normalização para a função de onda de um estado excitado com os números quânticos , e . O conteúdo envolve conceitos de normalização de funções de onda e integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar uma função de onda e utilizar integrais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função de onda estar normalizada, a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 3

A função de onda dada é:
Queremos encontrar tal que:

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é:
Como a função de onda não depende de e , podemos integrar sobre esses ângulos facilmente.

Passo 6

A integral de normalização fica:

Passo 7

Calculando as integrais angulares:
Multiplicando:

Passo 8

Agora, a condição de normalização fica:

Passo 9

Vamos expandir o quadrado:
Substituindo na integral:

Passo 10

Vamos separar a integral em três partes:

Passo 11

Utilizamos a propriedade das integrais do tipo:
Onde é o fatorial de .

Passo 12

Aplicando essa fórmula:
Simplificando:

Passo 13

Voltando à condição de normalização:
Simplificando:

Passo 14

Extraindo a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A constante de normalização é:

Exercícios relacionados

Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Lk)
6- Uma partícula que vive em uma dimensão espacial tem a função de onda
onde e b são parâmetros reais ( ). (b) Achar o valor esperado da coordenada x dessa partícula (como função de k e b).

Oscilador Harmônico

27-Mostre qual é a distância, , mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado e . Nota: nesse estado a função de onda para o átomo de H é
com
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo: