6- Uma partícula que vive em uma dimensão espacial tem a função de onda
onde
e b são parâmetros reais (
). (b) Achar o valor esperado da coordenada x dessa partícula (como função de k e b).
Oscilador Harmônico
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em uma dimensão espacial e sua função de onda é dada por:
Aqui,
,
e
são parâmetros reais, sendo que
. A pergunta quer que a gente encontre o valor esperado da coordenada
dessa partícula, ou seja,
, em função de
e
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo do valor esperado usando integrais envolvendo a função de onda.
Passo 2
O valor esperado de uma observável, como a posição
, é calculado pela integral:
Aqui,
é a função de onda complexa conjugada de
.
Passo 3
Vamos encontrar a função de onda complexa conjugada
. Dada a função:
O conjugado complexo de
é
. Já o termo
é real, então permanece o mesmo. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
,
e
:
Simplificando os termos exponenciais:
E multiplicando os termos de frente:
Então, temos:
Passo 5
Agora, nosso valor esperado fica:
Para resolver essa integral, vamos notar que a função
é par, ou seja, é simétrica em relação a
. Portanto, podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de 0 a
:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral:
Sabemos que:
Para
e
, temos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 8
Por fim, precisamos lembrar que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Calculando
:
Assim:
Daí, encontramos que:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
O valor esperado da coordenada
dessa partícula é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
(a)
(a)
Calcular os limites infinitos:
21- Para o estado excitado para
e
:
(a) Mostre que a constante de normalização e dada por: