6- Uma partícula que vive em uma dimensão espacial tem a função de onda
onde e b são parâmetros reais ( ). (b) Achar o valor esperado da coordenada x dessa partícula (como função de k e b).

Oscilador Harmônico

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em uma dimensão espacial e sua função de onda é dada por:
Aqui, , e são parâmetros reais, sendo que . A pergunta quer que a gente encontre o valor esperado da coordenada dessa partícula, ou seja, , em função de e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o cálculo do valor esperado usando integrais envolvendo a função de onda.

Passo 2

O valor esperado de uma observável, como a posição , é calculado pela integral:
Aqui, é a função de onda complexa conjugada de .

Passo 3

Vamos encontrar a função de onda complexa conjugada . Dada a função:
O conjugado complexo de é . Já o termo é real, então permanece o mesmo. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar , e :
Simplificando os termos exponenciais:
E multiplicando os termos de frente:
Então, temos:

Passo 5

Agora, nosso valor esperado fica:
Para resolver essa integral, vamos notar que a função é par, ou seja, é simétrica em relação a . Portanto, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de 0 a :

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral:
Sabemos que:
Para e , temos:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :

Passo 8

Por fim, precisamos lembrar que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Calculando :
Assim:
Daí, encontramos que:

Passo 9

Substituindo na expressão de :

Resposta

O valor esperado da coordenada dessa partícula é:

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21- Para o estado excitado para e :
(a) Mostre que a constante de normalização e dada por: