27-Mostre qual é a distância, , mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado e . Nota: nesse estado a função de onda para o átomo de H é
com
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a distância mais provável, , entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio quando o elétron está no estado quântico , , . Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e distribuição de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda fornecida e calcular onde a probabilidade de encontrar o elétron é máxima.
Passo 2
A função de onda para o estado dado é:
Onde:
é o número atômico (para hidrogênio, ),
é o raio de Bohr,
é a constante de normalização.
Para encontrar a distância mais provável, precisamos calcular a densidade de probabilidade radial , que é dada por:
Aqui, é a parte radial da função de onda .
Passo 3
Primeiro, vamos identificar a parte radial da função de onda:
Então, a densidade de probabilidade radial é:
P(r) = r^2 C320^2 (Z ra0)^4 e^-2Z r / 3 a0
Passo 4
Para encontrar a distância mais provável, precisamos maximizar P(r) em relação a r. Isso significa que devemos derivar P(r) em relação a r e igualar a derivada a zero:
dPdr = 0
Vamos calcular essa derivada.
Passo 5
Primeiro, expresse P(r) de forma simplificada:
P(r) = C cdot r^6 e^-2Z r / 3 a0
Onde C = C320^2 (Za0)^4 é uma constante.
Derivando em relação a r:
dPdr = C (6r^5 e^-2Z r / 3 a0 - 2Z3 a0 r^6 e^-2Z r / 3 a0) = 0
Passo 6
Fatorando termos comuns:
C cdot r^5 e^-2Z r / 3 a0 (6 - 2Z3 a0 r) = 0
Para que a expressão seja zero, temos:
6 - 2Z3 a0 r = 0
Resolvendo para r:
2Z3 a0 r = 6
r = 6 cdot 3 a02Z = 18 a02Z = 9 a0Z
Resposta
A distância mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado n=3, l=2, m=0 é r = dfrac9,a0Z.