27-Mostre qual é a distância, , mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado e . Nota: nesse estado a função de onda para o átomo de H é
com

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a distância mais provável, , entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio quando o elétron está no estado quântico , , . Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e distribuição de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda fornecida e calcular onde a probabilidade de encontrar o elétron é máxima.

Passo 2

A função de onda para o estado dado é:
Onde:
  • é o número atômico (para hidrogênio, ),
  • é o raio de Bohr,
  • é a constante de normalização.
Para encontrar a distância mais provável, precisamos calcular a densidade de probabilidade radial , que é dada por:
Aqui, é a parte radial da função de onda .

Passo 3

Primeiro, vamos identificar a parte radial da função de onda:
Então, a densidade de probabilidade radial é:

Passo 4

Para encontrar a distância mais provável, precisamos maximizar em relação a . Isso significa que devemos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 5

Primeiro, expresse de forma simplificada:
Onde é uma constante.
Derivando em relação a :

Passo 6

Fatorando termos comuns:
Para que a expressão seja zero, temos:
Resolvendo para :

Resposta

A distância mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado , , é .

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21- Para o estado excitado para e :
(a) Mostre que a constante de normalização e dada por:
Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Lk)
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo:
Em cada um dos itens abaixo, determine o domínio da função dada.