27-Mostre qual é a distância, , mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado e . Nota: nesse estado a função de onda para o átomo de H é
com
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a distância mais provável, , entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio quando o elétron está no estado quântico , , . Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e distribuição de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda fornecida e calcular onde a probabilidade de encontrar o elétron é máxima.
Passo 2
A função de onda para o estado dado é:
Onde:
é o número atômico (para hidrogênio, ),
é o raio de Bohr,
é a constante de normalização.
Para encontrar a distância mais provável, precisamos calcular a densidade de probabilidade radial , que é dada por:
Aqui, é a parte radial da função de onda .
Passo 3
Primeiro, vamos identificar a parte radial da função de onda:
Então, a densidade de probabilidade radial é:
Passo 4
Para encontrar a distância mais provável, precisamos maximizar em relação a . Isso significa que devemos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 5
Primeiro, expresse de forma simplificada:
Onde é uma constante.
Derivando em relação a :
Passo 6
Fatorando termos comuns:
Para que a expressão seja zero, temos:
Resolvendo para :
Resposta
A distância mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado , , é .