27-Mostre qual é a distância, r, mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado n=3, I=2 e m=0. Nota: nesse estado a função de onda para o átomo de H é
psi320=C320(Z ra0)^2 e^-Z r / 3 a0(3 cos ^2 theta-1)
com
C320=181 raiz6 pi(za0)^3 / 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a distância mais provável, r, entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio quando o elétron está no estado quântico n=3, l=2, m=0. Isso envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e distribuição de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda fornecida e calcular onde a probabilidade de encontrar o elétron é máxima.

Passo 2

A função de onda para o estado dado é:
psi320=C320(Z ra0)^2 e^-Z r / 3 a0(3 cos ^2 theta-1)
Onde:
  • Z é o número atômico (para hidrogênio, Z=1),
  • a0 é o raio de Bohr,
  • C320 é a constante de normalização.
Para encontrar a distância mais provável, precisamos calcular a densidade de probabilidade radial P(r), que é dada por:
P(r) = r^2 |R(r)|^2
Aqui, R(r) é a parte radial da função de onda psi320.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar a parte radial da função de onda:
R320(r) = C320(Z ra0)^2 e^-Z r / 3 a0
Então, a densidade de probabilidade radial é:
P(r) = r^2 | C320(Z ra0)^2 e^-Z r / 3 a0 |^2
P(r) = r^2 C320^2 (Z ra0)^4 e^-2Z r / 3 a0

Passo 4

Para encontrar a distância mais provável, precisamos maximizar P(r) em relação a r. Isso significa que devemos derivar P(r) em relação a r e igualar a derivada a zero:
dPdr = 0
Vamos calcular essa derivada.

Passo 5

Primeiro, expresse P(r) de forma simplificada:
P(r) = C cdot r^6 e^-2Z r / 3 a0
Onde C = C320^2 (Za0)^4 é uma constante.
Derivando em relação a r:
dPdr = C (6r^5 e^-2Z r / 3 a0 - 2Z3 a0 r^6 e^-2Z r / 3 a0) = 0

Passo 6

Fatorando termos comuns:
C cdot r^5 e^-2Z r / 3 a0 (6 - 2Z3 a0 r) = 0
Para que a expressão seja zero, temos:
6 - 2Z3 a0 r = 0
Resolvendo para r:
2Z3 a0 r = 6
r = 6 cdot 3 a02Z = 18 a02Z = 9 a0Z

Resposta

A distância mais provável entre o elétron e o núcleo no átomo de hidrogênio no estado n=3, l=2, m=0 é r = dfrac9,a0Z.

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