1. Intercepte a cônica obtida no item (1) com a reta
r: X=(0,0,1)+lambda(1,0,-1), lambda in R
para encontrar dois pontos, P1 e P2.
Qual é a distância entre os pontos P1 e P2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para interceptar uma cônica com uma reta específica e encontrar dois pontos de interseção, e . Depois, precisamos calcular a distância entre esses dois pontos. Vamos trabalhar com geometria analítica, usando equações de retas e cônicas, e fórmulas de distância entre pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação da reta que vamos usar para interceptar a cônica. A reta está parametrizada por:
r: X = (0, 0, 1) + lambda (1, 0, -1), lambda in R
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser representado por:
X(lambda) = (0 + lambda cdot 1, , 0 + lambda cdot 0, , 1 + lambda cdot (-1)) = (lambda, , 0, , 1 - lambda)

Passo 3

Agora, precisamos a equação da cônica do item (1). Como não foi fornecida, vamos supor que a cônica seja uma esfera centrada na origem com raio x^2 + y^2 + z^2 = r^2 , cuja equação é:
(Se a cônica for diferente, substitua pela equação correta correspondente ao item 1.)

Passo 4

Para encontrar os pontos de interseção (lambda)^2 + (0)^2 + (1 - lambda)^2 = r^2 e lambda^2 + (1 - 2lambda + lambda^2) = r^2 2lambda^2 - 2lambda + 1 = r^2 , substituímos as coordenadas da reta na equação da cônica:
Simplificando:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática para 2lambda^2 - 2lambda + (1 - r^2) = 0 :
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 2 cdot (1 - r^2)2 cdot 2 lambda = 2 pm raiz4 - 8(1 - r^2)4 lambda = 2 pm raiz8r^2 - 44 lambda = 1 pm raiz2r^2 - 12
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 6

Com os valores de P1 = ( lambda1, , 0, , 1 - lambda1 ) , encontramos as coordenadas dos pontos P2 = ( lambda2, , 0, , 1 - lambda2 ) e :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, calculamos a distância entre d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e d = raiz(lambda2 - lambda1)^2 + (0 - 0)^2 + ((1 - lambda2) - (1 - lambda1))^2 d = raiz(lambda2 - lambda1)^2 + (lambda1 - lambda2)^2 d = raiz2(lambda1 - lambda2)^2 d = raiz2 cdot |lambda1 - lambda2| usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Substituindo:

Passo 8

Calculando |lambda1 - lambda2| = | 1 + raiz2r^2 - 12 - 1 - raiz2r^2 - 12 | = | 2raiz2r^2 - 12 | = |raiz2r^2 - 1| :
d = raiz2 cdot raiz2r^2 - 1 = raiz4r^2 - 2 = raiz2(2r^2 - 1)
Portanto:

Resposta

A distância entre os pontos d = raiz2(2r^2 - 1) e é:

Exercícios relacionados

Identificar a superfície S e a sua intersecção com o plano pi dado. S: 18 x^2+9 y^2-2 z^2-18=0 e pi: z=3.
19
Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
a) x^2+y^2+z^2-6 x+4 y+9=0;
Identificar a superfície S e a sua intersecção com o plano pi dado. S: x^24-y^28-z^216=1 e pi: x=2;
Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear T(x, y, z)=(x-y+z, x-4 y+z, 2 x+y-z).
Determinar a matriz das coordenadas do vetor v=(4,2) em relação à base B=(1,-1),(1,2) do R^2 e faça a interpretação geométrica.