para encontrar dois pontos, e .
Qual é a distância entre os pontos e ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para interceptar uma cônica com uma reta específica e encontrar dois pontos de interseção, e . Depois, precisamos calcular a distância entre esses dois pontos. Vamos trabalhar com geometria analítica, usando equações de retas e cônicas, e fórmulas de distância entre pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação da reta que vamos usar para interceptar a cônica. A reta está parametrizada por:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser representado por:
Passo 3
Agora, precisamos a equação da cônica do item (1). Como não foi fornecida, vamos supor que a cônica seja uma esfera centrada na origem com raio , cuja equação é:
(Se a cônica for diferente, substitua pela equação correta correspondente ao item 1.)
Passo 4
Para encontrar os pontos de interseção e , substituímos as coordenadas da reta na equação da cônica:
Simplificando:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Com os valores de , encontramos as coordenadas dos pontos e :
Para :
Para :
Passo 7
Agora, calculamos a distância entre e usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Substituindo:
Passo 8
Calculando :
Portanto:
Resposta
A distância entre os pontos d = raiz2(2r^2 - 1) e é: