Identificar a superfície
e a sua intersecção com o plano
dado.
e
;
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente identificar que tipo de superfície é a
e como ela se comporta quando cortada pelo plano
. Estamos lidando com geometria espacial, especificamente com superfícies quádricas e intersecções de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferentes superfícies quádricas e saber como substituir valores em equações para encontrar a intersecção.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação da superfície
:
Essa é uma equação de uma superfície quádrica. A gente precisa identificar de qual tipo de superfície se trata. As superfícies quádricas mais comuns são esferas, paraboloides, hiperboloides, etc. A forma geral da equação nos ajuda a identificar isso.
Passo 3
Observando a equação da
, notamos que temos termos quadráticos em
,
e
, com sinais diferentes:
- O termo
é positivo. - Os termos
e são negativos.
Quando uma equação tem um termo positivo e os outros negativos, estamos geralmente lidando com um hiperboloide. Especificamente, se só um termo é positivo, é um hiperboloide de uma folha.
Passo 4
Então, concluímos que a superfície
é um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície parece um saco de batatas e tem uma única “folha” contínua.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a intersecção da superfície
com o plano
dado pela equação
. Para isso, substituímos
na equação de
:
Simplificando:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando por
:
A única solução para essa equação é
e
. Então, a intersecção é o ponto
.
Resposta
A superfície
é um hiperboloide de uma folha e a sua intersecção com o plano
é o ponto
.
Exercícios relacionados
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (k) contém a reta
e é paralelo à reta
.
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (e) passa pelos pontos
e
.
Identificar a superfície
e a sua intersecção com o plano
dado.
e
.
19
Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
a) ;
19
Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
a)
- Intercepte a cônica obtida no item (1) com a reta
para encontrar dois pontos,
e
.
Qual é a distância entre os pontos e
?
Qual é a distância entre os pontos