Identificar a superfície S e a sua intersecção com o plano pi dado. S: x^24-y^28-z^216=1 e pi: x=2;

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente identificar que tipo de superfície é a S e como ela se comporta quando cortada pelo plano pi. Estamos lidando com geometria espacial, especificamente com superfícies quádricas e intersecções de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferentes superfícies quádricas e saber como substituir valores em equações para encontrar a intersecção.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação da superfície S:
x^24 - y^28 - z^216 = 1
Essa é uma equação de uma superfície quádrica. A gente precisa identificar de qual tipo de superfície se trata. As superfícies quádricas mais comuns são esferas, paraboloides, hiperboloides, etc. A forma geral da equação nos ajuda a identificar isso.

Passo 3

Observando a equação da S, notamos que temos termos quadráticos em x, y e z, com sinais diferentes:
  • O termo x^24 é positivo.
  • Os termos -y^28 e -z^216 são negativos.
Quando uma equação tem um termo positivo e os outros negativos, estamos geralmente lidando com um hiperboloide. Especificamente, se só um termo é positivo, é um hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Então, concluímos que a superfície S é um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície parece um saco de batatas e tem uma única “folha” contínua.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a intersecção da superfície S com o plano pi dado pela equação x = 2. Para isso, substituímos x = 2 na equação de S:
(2)^24 - y^28 - z^216 = 1
Simplificando:
44 - y^28 - z^216 = 1 implies 1 - y^28 - z^216 = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
- y^28 - z^216 = 0
Multiplicando por -1:
y^28 + z^216 = 0
A única solução para essa equação é y = 0 e z = 0. Então, a intersecção é o ponto (2, 0, 0).

Resposta

A superfície S é um hiperboloide de uma folha e a sua intersecção com o plano pi é o ponto (2, 0, 0).

Exercícios relacionados

Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (k) contém a reta r: x-12=y2=z-1 e é paralelo à reta s: x-32=2-y=z-44.
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (e) passa pelos pontos A=(2,1,5), B=(3,1,3) e C=(4,2,3).
Identificar a superfície S e a sua intersecção com o plano pi dado. S: 18 x^2+9 y^2-2 z^2-18=0 e pi: z=3.
19
Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
a) x^2+y^2+z^2-6 x+4 y+9=0;
  1. Intercepte a cônica obtida no item (1) com a reta
r: X=(0,0,1)+lambda(1,0,-1), lambda in R
para encontrar dois pontos, P1 e P2.
Qual é a distância entre os pontos P1 e P2 ?