Identificar a superfície S e a sua intersecção com o plano pi dado. S: 18 x^2+9 y^2-2 z^2-18=0 e pi: z=3.
19
Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
a) x^2+y^2+z^2-6 x+4 y+9=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é identificar e descrever a quadrica dada pela equação . Isso está relacionado ao estudo das quadricas na geometria analítica, como esferas, elipses, hiperboles, etc. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado para reescrever a equação de uma forma mais simples e reconhecível.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos iguais:
x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 + 9 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis x^2 - 6x e (-62)^2 = 9 . Isso ajuda a identificar o centro e o raio da quadrica.
Para x^2 - 6x + 9 - 9 :
y^2 + 4y
A gente pega o coeficiente de (42)^2 = 4 , divide por 2 e eleva ao quadrado:
y^2 + 4y + 4 - 4
Então, adicionamos e subtraímos 9:
Para :
A gente faz a mesma coisa:
Adicionamos e subtraímos 4:

Passo 4

Substituindo de volta na equação, temos:
(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + z^2 + 9 = 0
Simplificando:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 - 9 - 4 + 9 = 0
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 - 4 = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar os termos constantes:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4

Passo 6

Essa é a equação de uma esfera! A forma padrão é:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
Onde é o centro e é o raio.
Comparando com a nossa equação:
  • Centro:
  • Raio:

Resposta

A quadrica é uma esfera com centro no ponto e raio igual a 2 unidades.

Exercícios relacionados