Identificar a superfície
e a sua intersecção com o plano
dado.
e
.
19
Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
a)
;
19
Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é identificar e descrever a quadrica dada pela equação
. Isso está relacionado ao estudo das quadricas na geometria analítica, como esferas, elipses, hiperboles, etc. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado para reescrever a equação de uma forma mais simples e reconhecível.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos iguais:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
. Isso ajuda a identificar o centro e o raio da quadrica.
Para
:
A gente pega o coeficiente de
, divide por 2 e eleva ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9:
Para
:
A gente faz a mesma coisa:
Adicionamos e subtraímos 4:
Passo 4
Substituindo de volta na equação, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos isolar os termos constantes:
Passo 6
Essa é a equação de uma esfera! A forma padrão é:
Onde
é o centro e
é o raio.
Comparando com a nossa equação:
- Centro:
- Raio:
Resposta
A quadrica
é uma esfera com centro no ponto
e raio igual a 2 unidades.
Exercícios relacionados
Identificar a superfície
e a sua intersecção com o plano
dado.
e
;
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: (k) contém a reta
e é paralelo à reta
.
- Intercepte a cônica obtida no item (1) com a reta
para encontrar dois pontos,
e
.
Qual é a distância entre os pontos e
?
Qual é a distância entre os pontos
Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
.