Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear T(x, y, z)=(x-y+z, x-4 y+z, 2 x+y-z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente lidando com transformações lineares e conceitos de núcleo (ou kernel) e imagem (ou range). Para resolver, vamos precisar montar a matriz dessa transformação e usar alguns procedimentos básicos como resolução de sistemas lineares e conceitos de dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(x, y, z) = 1 & -1 & 1 1 & -4 & 1 2 & 1 & -1 x y z como uma matriz. Cada componente da transformação corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, podemos escrever:
Essa matriz será usada para encontrar a imagem e o núcleo de .

Passo 3

Vamos começar encontrando o núcleo de x - y + z = 0 x - 4y + z = 0 2x + y - z = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero, ou seja, .
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar as soluções. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x - 4y + z) - (x - y + z) = 0 Rightarrow -3y = 0 Rightarrow y = 0
Com x + z = 0 Rightarrow x = -z , substituímos na primeira equação:
2x - z = 0 Rightarrow 2(-z) - z = 0 Rightarrow -3z = 0 Rightarrow z = 0
E na terceira equação:
Então, e .

Passo 5

Portanto, a única solução é Núc<=o de T = 0 . Isso significa que o núcleo de é apenas o vetor zero, ou seja:
ú
E a dimensão do núcleo é 0.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de a1 = 1 1 2 , a2 = -1 -4 1 , a3 = 1 1 -1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos pela transformação , ou seja, todas as combinações lineares das colunas da matriz .
As colunas da matriz são:

Passo 7

Para encontrar uma base da imagem, precisamos verificar quais dessas colunas são linearmente independentes. Podemos montar uma matriz com essas colunas e calcular o posto:
A = 1 & -1 & 1 1 & -4 & 1 2 & 1 & -1
Vamos realizar a eliminação de Gauss para encontrar o posto da matriz.

Passo 8

Subtraindo a primeira linha da segunda e multiplicando a primeira linha por 2 e subtraindo da terceira:
1 & -1 & 1 0 & -3 & 0 0 & 3 & -3
Em seguida, somando a segunda linha com a terceira:
1 & -1 & 1 0 & -3 & 0 0 & 0 & -3
Como todas as linhas possuem pivôs (elementos não nulos), o posto da matriz é 3.

Passo 9

Como o posto é 3, isso significa que as três colunas são linearmente independentes. Portanto, a imagem de Ima>=m de T = Span a1, a2, a3 é todo o espaço e a base da imagem é formada pelas próprias colunas de :
E a dimensão da imagem é 3.

Resposta

O núcleo de é com dimensão 0, e a imagem de é com dimensão 3.

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