Determinar a matriz das coordenadas do vetor
em relação à base
do
e faça a interpretação geométrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a matriz das coordenadas do vetor
em relação à base
do
. Isso significa que vamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores que compõem a base
. Para fazer isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra linear, mais especificamente de combinação linear e mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Dizer que
é uma combinação linear dos vetores de
significa que existem escalares (números)
e
tais que:
Aqui,
e
são as coordenadas que queremos encontrar. Basicamente, queremos descobrir quanto de cada vetor da base
precisamos para chegar no vetor
.
Passo 3
Vamos escrever essa equação de forma mais detalhada:
Isso dá duas equações:
Agora, temos um sistema de equações lineares que precisamos resolver para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou de eliminação. Vou optar pelo método de eliminação aqui.
Primeiro, podemos multiplicar a primeira equação por 1 para facilitar:
Agora, somamos as duas equações para eliminar
:
Com o valor de
encontrado, substituímos na primeira equação para achar
:
Passo 5
Então, encontramos que
e
. Isso significa que:
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Resposta
A matriz das coordenadas do vetor
em relação à base
é:
Interpretação Geométrica: Isso significa que, para chegar ao vetor
, você precisa mover-se 2 vezes o vetor
e 2 vezes o vetor
. Geometricamente,
está localizado no ponto que resulta dessa combinação dessas duas direções da base
.
Exercícios relacionados
Determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
.
- Intercepte a cônica obtida no item (1) com a reta
para encontrar dois pontos,
e
.
Qual é a distância entre os pontos e
?
Qual é a distância entre os pontos
Se verdadeiro prove, caso contrário dê um contraexemplo: Se
é uma transformação linear, então
Se verdadeiro prove, caso contrário dê um contraexemplo: A aplicação
é uma transformação linear.