Determinar a matriz das coordenadas do vetor v=(4,2) em relação à base B=(1,-1),(1,2) do R^2 e faça a interpretação geométrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a matriz das coordenadas do vetor em relação à base do . Isso significa que vamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores que compõem a base . Para fazer isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra linear, mais especificamente de combinação linear e mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Dizer que v = a cdot (1, -1) + b cdot (1, 2) é uma combinação linear dos vetores de significa que existem escalares (números) e tais que:
Aqui, e são as coordenadas que queremos encontrar. Basicamente, queremos descobrir quanto de cada vetor da base precisamos para chegar no vetor .

Passo 3

Vamos escrever essa equação de forma mais detalhada:
(4, 2) = a cdot (1, -1) + b cdot (1, 2)
Isso dá duas equações:
1a + 1b = 4 -1a + 2b = 2
Agora, temos um sistema de equações lineares que precisamos resolver para encontrar e .

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método de substituição ou de eliminação. Vou optar pelo método de eliminação aqui.
Primeiro, podemos multiplicar a primeira equação por 1 para facilitar:
a + b = 4 - a + 2b = 2
Agora, somamos as duas equações para eliminar (a + b) + (-a + 2b) = 4 + 2 3b = 6 b = 2 :
a + 2 = 4 a = 2
Com o valor de encontrado, substituímos na primeira equação para achar :

Passo 5

Então, encontramos que v = 2 cdot (1, -1) + 2 cdot (1, 2) e . Isso significa que:
Portanto, as coordenadas de na base são .

Resposta

A matriz das coordenadas do vetor 2 2 em relação à base é:
Interpretação Geométrica: Isso significa que, para chegar ao vetor , você precisa mover-se 2 vezes o vetor e 2 vezes o vetor . Geometricamente, está localizado no ponto que resulta dessa combinação dessas duas direções da base .

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