44 -. Uma esfera de raio tem densidade volumétrica de carga para , onde é uma constante, e para . (a) Determine a carga total na esfera. (b) Determine as expressões para o campo elétrico no interior e no exterior da distribuição de cargas. © Represente a magnitude do campo elétrico como uma função da distância ao centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma esfera de raio com uma densidade de carga que varia conforme a distância ao centro, dada por para e para . Vamos precisar usar conceitos de densidade de carga, carga total e Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a carga total na esfera. Para isso, precisamos integrar a densidade de carga ao longo do volume da esfera.
A densidade de carga é . A carga total é dada por:
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então:

Passo 3

Agora, vamos determinar o campo elétrico tanto no interior quanto no exterior da esfera. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.
A Lei de Gauss é:
Onde é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

Primeiro, vamos achar o campo dentro da esfera ( ).
A carga encerrada dentro de uma superfície gaussiana de raio é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos achar o campo fora da esfera ( ).
Toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 6

Por fim, vamos representar a magnitude do campo elétrico como função da distância ao centro da esfera.
Para :
Para :

Resposta

(a) A carga total na esfera é .
(b) O campo elétrico é:
© A magnitude do campo elétrico em função da distância ao centro da esfera é:

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