44 -. Uma esfera de raio R tem densidade volumétrica de carga rho=C / r^2 para r, onde C é uma constante, e rho=0 para r>R. (a) Determine a carga total na esfera. (b) Determine as expressões para o campo elétrico no interior e no exterior da distribuição de cargas. © Represente a magnitude do campo elétrico como uma função da distância r ao centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma esfera de raio com uma densidade de carga que varia conforme a distância ao centro, dada por para e para . Vamos precisar usar conceitos de densidade de carga, carga total e Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a carga total na esfera. Para isso, precisamos integrar a densidade de carga ao longo do volume da esfera.
A densidade de carga é Q = integral rho , dV . A carga total Q = integral0^R Cr^2 cdot 4pi r^2 dr = 4pi C integral0^R dr = 4pi C R é dada por:
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então:

Passo 3

Agora, vamos determinar o campo elétrico tanto no interior quanto no exterior da esfera. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.
A Lei de Gauss é:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde é a carga dentro da superfície gaussiana.

Passo 4

Primeiro, vamos achar o campo dentro da esfera ( Qenc = 4pi C r ).
A carga encerrada dentro de uma superfície gaussiana de raio E cdot 4pi r^2 = 4pi C rvarepsilon0 é:
E = Cvarepsilon0 r
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos achar o campo fora da esfera ( E cdot 4pi r^2 = 4pi C Rvarepsilon0 ).
Toda a carga E = C Rvarepsilon0 r^2 está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 6

Por fim, vamos representar a magnitude do campo elétrico como função da distância E(r) = Cvarepsilon0 r ao centro da esfera.
Para E(r) = C Rvarepsilon0 r^2 :
Para :

Resposta

(a) A carga total na esfera é E(r) = Cvarepsilon0 r & para r < R C Rvarepsilon0 r^2 & para r >= R .
(b) O campo elétrico é:
E(r) = Cvarepsilon0 r & para r < R C Rvarepsilon0 r^2 & para r >= R
© A magnitude do campo elétrico em função da distância ao centro da esfera é:

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