Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma esfera de raio com uma densidade de carga que varia conforme a distância ao centro, dada por para e para . Vamos precisar usar conceitos de densidade de carga, carga total e Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a carga total na esfera. Para isso, precisamos integrar a densidade de carga ao longo do volume da esfera.
A densidade de carga é . A carga total é dada por:
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então:
Passo 3
Agora, vamos determinar o campo elétrico tanto no interior quanto no exterior da esfera. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.
A Lei de Gauss é:
Onde é a carga dentro da superfície gaussiana.
Passo 4
Primeiro, vamos achar o campo dentro da esfera ().
A carga encerrada dentro de uma superfície gaussiana de raio é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Passo 5
Agora, vamos achar o campo fora da esfera ().
Toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Passo 6
Por fim, vamos representar a magnitude do campo elétrico como função da distância ao centro da esfera.