a) vec(r)(t) = (t-2, t^2 + 1), t = -1
b) r(t) = (t^2, t^3), t = 1
c) r(t) = (sen(t), 2 cos(t)), t = pi/4
d) r(t) = e^(t.i) + e^(-t) . j, t = 0
e) r(t) = e^(2t) i + e^(t) j, t = 0
f) r(t) = (1 + cos(t)) * i + (2 + sen(t)) * j, t = pi/6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a). A questão pede para calcular o vetor posição quando . Isso significa que precisamos substituir t por -1 nas componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira componente . Substituindo t por -1:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda componente . Substituindo t por -1:

Passo 4

Agora, vamos para a parte b). Precisamos calcular o vetor posição quando . Isso envolve substituir t por 1 nas componentes do vetor.

Passo 5

Primeiro, substituímos t por 1 na primeira componente :

Passo 6

Em seguida, substituímos t por 1 na segunda componente :

Passo 7

Vamos resolver a parte c). A questão pede para encontrar o vetor posição quando . Precisamos calcular o seno e o cosseno de pi/4.

Passo 8

Primeiro, calculamos :

Passo 9

Agora, calculamos :

Passo 10

Seguimos com a parte d). Precisamos calcular o vetor posição quando . Vamos substituir t por 0 nas exponenciais.

Passo 11

Primeiro, calculamos e^0:

Passo 12

Em seguida, calculamos , que também é:

Passo 13

Agora, vamos para a parte e). A tarefa é encontrar o vetor posição quando . Vamos substituir t por 0 nas exponenciais.

Passo 14

Primeiro, calculamos :

Passo 15

Depois, calculamos e^0 na segunda componente:

Passo 16

Finalmente, vamos resolver a parte f). Precisamos calcular o vetor posição quando . Vamos substituir t por pi/6 e calcular o cosseno e o seno.

Passo 17

Primeiro, calculamos :
Portanto:

Passo 18

Agora, calculamos :
Então:

Resposta

Assim, .

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