Determine o trabalho realizado pelo campo F(x, y) = (x, x^3 + 3xy^2) sobre uma particula que está inicialmente no ponto (0, -2) e se move ao longo do eixo x para o ponto ( 0,2 e e entāo ao longo da semicircunferència y = raiz(4 - x^2) até o ponto inicial. \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1

Passo 1

Então, a gente tem que determinar o trabalho realizado por um campo vetorial sobre uma partícula que começa no ponto , se move até ao longo do eixo , e depois retorna ao ponto inicial seguindo uma semicircunferência definida por . Vamos usar o conceito de trabalho em campos vetoriais e a integral de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, é o caminho percorrido pela partícula.

Passo 3

O caminho é composto por duas partes:
  1. De a ao longo do eixo .
  2. De de volta a ao longo da semicircunferência .
Vamos calcular o trabalho em cada segmento e depois somar.

Passo 4

Para o primeiro segmento, ao longo do eixo de a , percebemos que constante. Então, e varia de a .
O campo nesse segmento fica:
Então, o trabalho nesse segmento é:

Passo 5

Para o segundo segmento, ao longo da semicircunferência , vamos parametrizar o caminho. Podemos usar o parâmetro , onde:
Para a semicircunferência de cima, varia de a .
Então, e .

Passo 6

Substituindo na integral de linha:
Primeiro, calculemos no caminho:

Passo 7

Agora, o produto escalar é:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:

Passo 10

Somando os resultados:

Resposta

O trabalho total realizado pelo campo sobre a partícula é unidades de trabalho.

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das seguintes funções.
y = raiz3(x) + raiz(x)
a) vec(r)(t) = (t-2, t^2 + 1), t = -1
b) r(t) = (t^2, t^3), t = 1
c) r(t) = (sen(t), 2 cos(t)), t = pi/4
d) r(t) = e^(t.i) + e^(-t) . j, t = 0
e) r(t) = e^(2t) i + e^(t) j, t = 0
f) r(t) = (1 + cos(t)) * i + (2 + sen(t)) * j, t = pi/6.
Calcule a derivada da função dada.
f(x) = (x^3 - 3x^2 + 1)^-3
Calcule a derivada da função dada.
y = ln(x + raiz(x^2 + 1))