Determine o trabalho realizado pelo campo sobre uma particula que está inicialmente no ponto e se move ao longo do eixo para o ponto ( 0,2 e e entāo ao longo da semicircunferència até o ponto inicial.
Passo 1
Então, a gente tem que determinar o trabalho realizado por um campo vetorial sobre uma partícula que começa no ponto , se move até ao longo do eixo , e depois retorna ao ponto inicial seguindo uma semicircunferência definida por . Vamos usar o conceito de trabalho em campos vetoriais e a integral de linha para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Aqui, é o caminho percorrido pela partícula.
Passo 3
O caminho é composto por duas partes:
De a ao longo do eixo .
De de volta a ao longo da semicircunferência .
Vamos calcular o trabalho em cada segmento e depois somar.
Passo 4
Para o primeiro segmento, ao longo do eixo de a , percebemos que constante. Então, e varia de a .
O campo nesse segmento fica:
Então, o trabalho nesse segmento é:
Passo 5
Para o segundo segmento, ao longo da semicircunferência , vamos parametrizar o caminho. Podemos usar o parâmetro , onde:
Para a semicircunferência de cima, varia de a .
Então, e .
Passo 6
Substituindo na integral de linha:
Primeiro, calculemos no caminho:
Passo 7
Agora, o produto escalar é:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Passo 10
Somando os resultados:
Resposta
O trabalho total realizado pelo campo sobre a partícula é unidades de trabalho.