Determine a equação da reta tangente em (x0, f(x0)) sendo dados
f(x) = x^3 + 1/x e x0 = 1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a equação da reta tangente nesse ponto específico onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Substituindo na função:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea, ou seja, a inclinação da curva naquele ponto.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de é .
  • A derivada de pode ser reescrita como e sua derivada é .
Portanto, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 2.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta tangente em (x0, f(x0)) sendo dados
f(x) = tg(x) e x0 = 0
Flow in an Aquifer. Consider the flow of water in a porous medium, such as sand, in an aquifer. The flow is driven by the hydraulic head, a measure of the potential energy of the water above the aquifer. Let R: 0 < x < a, 0 < z < b be a vertical section of an aquifer. In a uniform, homogeneous medium, the hydraulic head u(x, z) satisfies Laplace
u_{xx} + u_{zz} = 0 em R
If water cannot flow through the sides and bottom of R, then the boundary conditions there are
u_x(0, z) = 0, u_x(a, z) = 0, 0 < z < b; u_z(x, 0) = 0, 0 < x < a
Finally, suppose that the boundary condition at z = b is
u(x, b) = b + alfa * x, 0 < x < a
where alpha is the slope of the water table.
a) vec(r)(t) = (t-2, t^2 + 1), t = -1
b) r(t) = (t^2, t^3), t = 1
c) r(t) = (sen(t), 2 cos(t)), t = pi/4
d) r(t) = e^(t.i) + e^(-t) . j, t = 0
e) r(t) = e^(2t) i + e^(t) j, t = 0
f) r(t) = (1 + cos(t)) * i + (2 + sen(t)) * j, t = pi/6.
Calcule a derivada das seguintes funções.
y = raiz3(x) + raiz(x)