Verdadeiro (V) ou Falso ( F ): ( )Se uma função f(x, y) tem derivadas parciais no ponto ponto (a, b) então f é continua em (a, b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se uma função de duas variáveis, , que tem derivadas parciais no ponto necessariamente é contínua nesse ponto. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas são as taxas de variação da função em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. Ou seja, temos e .

Passo 3

Agora, sobre continuidade: uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Em termos matemáticos, .

Passo 4

A afirmação diz que se as derivadas parciais existem no ponto , então a função é contínua lá. Mas será que isso é sempre verdade? Vamos pensar em um exemplo.

Passo 5

Considere a função para e . Vamos ver as derivadas parciais em :

Passo 6

Mas, se analisarmos a continuidade em , percebemos que o limite depende do caminho que escolhemos para chegar em . Por exemplo, se , então . Se , então . Os limites são diferentes, então não é contínua em .

Resposta

Falso. Ter derivadas parciais em um ponto não garante que a função seja contínua nesse ponto.

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