Verdadeiro (V) ou Falso ( F ): ( )Se uma função
tem derivadas parciais no ponto ponto (a, b) então f é continua em (a, b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se uma função de duas variáveis,
, que tem derivadas parciais no ponto
necessariamente é contínua nesse ponto. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas são as taxas de variação da função em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante. Ou seja, temos
e
.
Passo 3
Agora, sobre continuidade: uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Em termos matemáticos,
.
Passo 4
A afirmação diz que se as derivadas parciais existem no ponto
, então a função é contínua lá. Mas será que isso é sempre verdade? Vamos pensar em um exemplo.
Passo 5
Considere a função
para
e
. Vamos ver as derivadas parciais em
:
Passo 6
Mas, se analisarmos a continuidade em
, percebemos que o limite depende do caminho que escolhemos para chegar em
. Por exemplo, se
, então
. Se
, então
. Os limites são diferentes, então
não é contínua em
.
Resposta
Falso. Ter derivadas parciais em um ponto não garante que a função seja contínua nesse ponto.