21a) Encontre a matriz mudança de base [I]beta^alpha.
21b) Utilize a matriz do item anterior para calcular [v]beta, sabendo que [v]alpha=(2,1).
21c) Encontre a matriz mudança de base [I]alpha^beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver os itens 21a, 21b e 21c juntos. A questão pede para encontrarmos as matrizes de mudança de base entre duas bases, chamadas de alpha e beta. Para isso, vamos precisar entender como as bases estão definidas e usar conceitos de transformação de coordenadas em álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a matriz de mudança de base [I]beta^alpha, precisamos saber como cada vetor da base beta é representado na base alpha. Isso significa que vamos expressar cada vetor de beta como combinação linear dos vetores de alpha.

Passo 3

Vamos supor que as bases alpha e beta sejam dadas da seguinte forma (caso contrário, substitua pelos vetores corretos):
  • Base alpha: alpha = u1, u2
  • Base beta: beta = v1, v2
Cada vetor vi da base beta será escrito como vi = ai1u1 + ai2u2. Os coeficientes aij formam as colunas da matriz de mudança de base [I]beta^alpha.

Passo 4

Montamos a matriz [I]beta^alpha colocando os coeficientes das combinações lineares nas colunas. Ou seja,
[I]beta^alpha = a11 & a12 a21 & a22
Esses coeficientes são encontrados resolvendo o sistema de equações para cada vetor de beta em termos de alpha.

Passo 5

Agora, para o item 21b, queremos calcular [v]beta sabendo que [v]alpha = 2 1 . Isso significa que o vetor v é representado pelos componentes 2 e 1 na base alpha.
A relação entre as coordenadas é dada por:
[v]beta = [I]alpha^beta [v]alpha
Onde [I]alpha^beta é a matriz de mudança de base inversa de [I]beta^alpha.

Passo 6

Para encontrar [I]alpha^beta, precisamos inverter a matriz [I]beta^alpha. Então,
[I]alpha^beta = ([I]beta^alpha)^-1
Calculamos a inversa da matriz obtida no passo 4 e, em seguida, multiplicamos pela coordenada [v]alpha para encontrar [v]beta.

Passo 7

Finalmente, no item 21c, devemos encontrar a matriz de mudança de base [I]alpha^beta, que já obtivemos no passo anterior ao inverter [I]beta^alpha. Portanto, essa matriz é a inversa de [I]beta^alpha.

Resposta

Após realizar os cálculos, a matriz mudança de base [I]beta^alpha é:
[I]beta^alpha = a11 & a12 a21 & a22
A coordenada do vetor v na base beta é:
[v]beta = x y
E a matriz mudança de base [I]alpha^beta é a inversa de [I]beta^alpha:
[I]alpha^beta = ([I]beta^alpha)^-1
Nota: Substitua aij, x e y pelos valores específicos conforme os vetores das bases alpha e beta fornecidos no exercício.

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