21a) Encontre a matriz mudança de base .
21b) Utilize a matriz do item anterior para calcular , sabendo que .
21c) Encontre a matriz mudança de base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver os itens 21a, 21b e 21c juntos. A questão pede para encontrarmos as matrizes de mudança de base entre duas bases, chamadas de e . Para isso, vamos precisar entender como as bases estão definidas e usar conceitos de transformação de coordenadas em álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos saber como cada vetor da base é representado na base . Isso significa que vamos expressar cada vetor de como combinação linear dos vetores de .
Passo 3
Vamos supor que as bases e sejam dadas da seguinte forma (caso contrário, substitua pelos vetores corretos):
- Base :
- Base :
Cada vetor da base será escrito como . Os coeficientes formam as colunas da matriz de mudança de base .
Passo 4
Montamos a matriz colocando os coeficientes das combinações lineares nas colunas. Ou seja,
Esses coeficientes são encontrados resolvendo o sistema de equações para cada vetor de em termos de .
Passo 5
Agora, para o item 21b, queremos calcular sabendo que . Isso significa que o vetor é representado pelos componentes 2 e 1 na base .
A relação entre as coordenadas é dada por:
Onde é a matriz de mudança de base inversa de .
Passo 6
Para encontrar , precisamos inverter a matriz . Então,
Calculamos a inversa da matriz obtida no passo 4 e, em seguida, multiplicamos pela coordenada para encontrar .
Passo 7
Finalmente, no item 21c, devemos encontrar a matriz de mudança de base , que já obtivemos no passo anterior ao inverter . Portanto, essa matriz é a inversa de .
Resposta
Após realizar os cálculos, a matriz mudança de base é:
A coordenada do vetor na base é:
E a matriz mudança de base é a inversa de :
*Nota: Substitua , e pelos valores específicos conforme os vetores das bases e fornecidos no exercício.*
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