21a) Encontre a matriz mudança de base
.
21b) Utilize a matriz do item anterior para calcular
, sabendo que
.
21c) Encontre a matriz mudança de base
.
21b) Utilize a matriz do item anterior para calcular
21c) Encontre a matriz mudança de base
Passo 1
Beleza, vamos resolver os itens 21a, 21b e 21c juntos. A questão pede para encontrarmos as matrizes de mudança de base entre duas bases, chamadas de
e
. Para isso, vamos precisar entender como as bases estão definidas e usar conceitos de transformação de coordenadas em álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a matriz de mudança de base
, precisamos saber como cada vetor da base
é representado na base
. Isso significa que vamos expressar cada vetor de
como combinação linear dos vetores de
.
Passo 3
Vamos supor que as bases
e
sejam dadas da seguinte forma (caso contrário, substitua pelos vetores corretos):
- Base
: - Base
:
Cada vetor
da base
será escrito como
. Os coeficientes
formam as colunas da matriz de mudança de base
.
Passo 4
Montamos a matriz
colocando os coeficientes das combinações lineares nas colunas. Ou seja,
Esses coeficientes são encontrados resolvendo o sistema de equações para cada vetor de
em termos de
.
Passo 5
Agora, para o item 21b, queremos calcular
sabendo que
. Isso significa que o vetor
é representado pelos componentes 2 e 1 na base
.
A relação entre as coordenadas é dada por:
Onde
é a matriz de mudança de base inversa de
.
Passo 6
Para encontrar
, precisamos inverter a matriz
. Então,
Calculamos a inversa da matriz obtida no passo 4 e, em seguida, multiplicamos pela coordenada
para encontrar
.
Passo 7
Finalmente, no item 21c, devemos encontrar a matriz de mudança de base
, que já obtivemos no passo anterior ao inverter
. Portanto, essa matriz é a inversa de
.
Resposta
Após realizar os cálculos, a matriz mudança de base
é:
A coordenada do vetor
na base
é:
E a matriz mudança de base
é a inversa de
:
Nota: Substitua
,
e
pelos valores específicos conforme os vetores das bases
e
fornecidos no exercício.