21a) Encontre a matriz mudança de base . 21b) Utilize a matriz do item anterior para calcular , sabendo que . 21c) Encontre a matriz mudança de base .

Passo 1

Beleza, vamos resolver os itens 21a, 21b e 21c juntos. A questão pede para encontrarmos as matrizes de mudança de base entre duas bases, chamadas de e . Para isso, vamos precisar entender como as bases estão definidas e usar conceitos de transformação de coordenadas em álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos saber como cada vetor da base é representado na base . Isso significa que vamos expressar cada vetor de como combinação linear dos vetores de .

Passo 3

Vamos supor que as bases e sejam dadas da seguinte forma (caso contrário, substitua pelos vetores corretos): - Base : - Base : Cada vetor da base será escrito como . Os coeficientes formam as colunas da matriz de mudança de base .

Passo 4

Montamos a matriz colocando os coeficientes das combinações lineares nas colunas. Ou seja, Esses coeficientes são encontrados resolvendo o sistema de equações para cada vetor de em termos de .

Passo 5

Agora, para o item 21b, queremos calcular sabendo que . Isso significa que o vetor é representado pelos componentes 2 e 1 na base . A relação entre as coordenadas é dada por: Onde é a matriz de mudança de base inversa de .

Passo 6

Para encontrar , precisamos inverter a matriz . Então, Calculamos a inversa da matriz obtida no passo 4 e, em seguida, multiplicamos pela coordenada para encontrar .

Passo 7

Finalmente, no item 21c, devemos encontrar a matriz de mudança de base , que já obtivemos no passo anterior ao inverter . Portanto, essa matriz é a inversa de .

Resposta

Após realizar os cálculos, a matriz mudança de base é: A coordenada do vetor na base é: E a matriz mudança de base é a inversa de : *Nota: Substitua , e pelos valores específicos conforme os vetores das bases e fornecidos no exercício.*

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