Determinar:
16a) [g circ f]beta^gamma
16b) (g circ f)(ll1 & 0 2 & 1)
16c) g(x t^2+y t+z)
16d) f(llx & y z & w)
16e) (g circ f)(llx & y z & w)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos três bases:
alpha = t^2, t+1, 3, que é uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2, P2(R).
beta = (1,0), (-1,-1), que é uma base para R^2.
gamma é a base canônica para M2(R), que é o conjunto de matrizes 2 times 2 com entradas reais.
Além disso, temos duas transformações lineares:
f: M2(R) P2(R) com a matriz representação [f]alpha^gamma.
g: P2(R) R^2 com a matriz representação [g]beta^alpha.
Nosso objetivo é determinar várias composições dessas transformações e suas aplicações em vetores e matrizes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa [f]alpha^gamma e [g]beta^alpha. Essas matrizes representam as transformações lineares em relação às bases fornecidas.
[f]alpha^gamma é a matriz que representa f quando o domínio usa a base gamma e o contradomínio usa a base alpha.
[g]beta^alpha é a matriz que representa g quando o domínio usa a base alpha e o contradomínio usa a base beta.
Para encontrar [g circ f]beta^gamma, precisamos multiplicar as matrizes das transformações na ordem correta.
Passo 3
Vamos calcular a matriz de g circ f. Sabemos que a matriz de uma composição de transformações lineares é o produto das matrizes individuais.
No entanto, observamos que as dimensões das matrizes não são compatíveis para multiplicação direta. Precisamos revisar as dimensões ou interpretar corretamente as bases envolvidas para garantir que a multiplicação seja válida.
Passo 4
Vamos reavaliar as dimensões:
[f]alpha^gamma é uma matriz 3 times 4, o que sugere que M2(R) tem dimensão 4 e P2(R) tem dimensão 3.
[g]beta^alpha é uma matriz 2 times 3, já que P2(R) tem dimensão 3 e R^2 tem dimensão 2.
Agora, multiplicando [g]beta^alpha (2 times 3) por [f]alpha^gamma (3 times 4):
Para a parte 16c, queremos encontrar g(x t^2 + y t + z).
Primeiro, expressamos o polinômio x t^2 + y t + z na base alpha = t^2, t+1, 3.
Vamos escrever:
x t^2 + y t + z = a(t^2) + b(t+1) + c(3)
Isso nos dá o sistema:
a = x b = y - c c = z3
Resolvendo:
c = z3, b = y - z3, a = x
Então, o vetor de coordenadas na base alpha é:
x y - z3 z3
Passo 10
Agora, aplicamos g usando a matriz [g]beta^alpha:
[g]beta^alpha cdot x y - z3 z3 = 1 cdot x + (-2) cdot (y - z3) + (-3) cdot z3 0 cdot x + (-2) cdot (y - z3) + (-3) cdot z3
Simplificando:
Primeira componente:
x - 2y + 2z3 - z = x - 2y - z3
Segunda componente:
-2y + 2z3 - z = -2y - z3
Passo 11
Então, temos:
g(x t^2 + y t + z) = x - 2y - z3 -2y - z3
Passo 12
Para a parte 16d, queremos encontrar f(x & y z & w).
Usamos a matriz [f]alpha^gamma para transformar a matriz na base canônica para P2(R).
Representamos a matriz como vetor coluna:
x & y z & w x y z w
Aplicamos [f]alpha^gamma:
[f]alpha^gamma cdot x y z w = 1 cdot x + 1 cdot y + 0 cdot z + 0 cdot w 0 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z + 0 cdot w 0 cdot x + 0 cdot y + (-1/3) cdot z + (1/3) cdot w = x + y z -z + w3
Passo 13
Então, temos:
f(x & y z & w) = (x + y) t^2 + z (t + 1) + -z + w3 cdot 3
Simplificando:
= (x + y) t^2 + z t + z + (-z + w)
= (x + y) t^2 + z t + w
Passo 14
Para a parte 16e, queremos encontrar (g circ f)(x & y z & w).
Sabemos que:
g circ f = [g circ f]beta^gamma cdot x y z w = 1 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & -1 & -1 cdot x y z w
Passo 15
Realizando a multiplicação:
Primeira componente:
1 cdot x + 1 cdot y + (-1) cdot z + (-1) cdot w = x + y - z - w
Segunda componente:
0 cdot x + 0 cdot y + (-1) cdot z + (-1) cdot w = -z - w