éô
Sejam e transformações lineares tais que
Determinar:
16a)
16b)
16c)
16d)
16e)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos três bases:
  • , que é uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2, .
  • , que é uma base para .
  • é a base canônica para , que é o conjunto de matrizes com entradas reais.
Além disso, temos duas transformações lineares:
  • com a matriz representação .
  • com a matriz representação .
Nosso objetivo é determinar várias composições dessas transformações e suas aplicações em vetores e matrizes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . Essas matrizes representam as transformações lineares em relação às bases fornecidas.
  • é a matriz que representa quando o domínio usa a base e o contradomínio usa a base .
  • é a matriz que representa quando o domínio usa a base e o contradomínio usa a base .
Para encontrar , precisamos multiplicar as matrizes das transformações na ordem correta.

Passo 3

Vamos calcular a matriz de . Sabemos que a matriz de uma composição de transformações lineares é o produto das matrizes individuais.
Dado:
No entanto, observamos que as dimensões das matrizes não são compatíveis para multiplicação direta. Precisamos revisar as dimensões ou interpretar corretamente as bases envolvidas para garantir que a multiplicação seja válida.

Passo 4

Vamos reavaliar as dimensões:
  • é uma matriz , o que sugere que tem dimensão 4 e tem dimensão 3.
  • é uma matriz , já que tem dimensão 3 e tem dimensão 2.
Agora, multiplicando ( ) por ( ):

Passo 5

Agora realizamos a multiplicação de matrizes:
Para a primeira linha de :
Para a segunda linha de :
Então, a matriz resultante é:

Passo 6

Agora, vamos determinar .
Primeiro, aplicamos na matriz:
Usando a matriz , precisamos expressar a matriz na base canônica e depois multiplicar pela matriz de .

Passo 7

Para simplificar, assumimos que é a base canônica, então a matriz já está expressa em . Vamos representar a matriz como um vetor coluna:
Agora, aplicamos :

Passo 8

Agora, aplicamos no resultado de :
Usamos a matriz para transformar o polinômio na base para na base :

Passo 9

Para a parte 16c, queremos encontrar .
Primeiro, expressamos o polinômio na base .
Vamos escrever:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Então, o vetor de coordenadas na base é:

Passo 10

Agora, aplicamos usando a matriz :
Simplificando:
Primeira componente:
Segunda componente:

Passo 11

Então, temos:

Passo 12

Para a parte 16d, queremos encontrar .
Usamos a matriz para transformar a matriz na base canônica para .
Representamos a matriz como vetor coluna:
Aplicamos :

Passo 13

Então, temos:
Simplificando:

Passo 14

Para a parte 16e, queremos encontrar .
Sabemos que:

Passo 15

Realizando a multiplicação:
Primeira componente:
Segunda componente:

Resposta

A matriz de é:
Além disso:
a)
b)
c)
d)
e)

Exercícios relacionados

Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ?
; tais que
21a) Encontre a matriz mudança de base .
21b) Utilize a matriz do item anterior para calcular , sabendo que .
21c) Encontre a matriz mudança de base .
Considere A uma matriz de ordem n. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.
Considere A uma matriz de ordem n. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.