alpha=t^2, t+1,3, beta=(1,0),(-1,-1) e gamma é a base canônica éô
Sejam f: M2(R) P2(R) e g: P2(R) R^2 transformações lineares tais que
[f]alpha^gamma=(cccc 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 / 3 & 1 / 3 ) e [g]beta^alpha=(ccc 1 & -2 & -3 0 & -2 & -3 )
Determinar:
16a) [g circ f]beta^gamma
16b) (g circ f)(ll1 & 0 2 & 1)
16c) g(x t^2+y t+z)
16d) f(llx & y z & w)
16e) (g circ f)(llx & y z & w)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos três bases:
  • alpha = t^2, t+1, 3, que é uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2, P2(R).
  • beta = (1,0), (-1,-1), que é uma base para R^2.
  • gamma é a base canônica para M2(R), que é o conjunto de matrizes 2 times 2 com entradas reais.
Além disso, temos duas transformações lineares:
  • f: M2(R) P2(R) com a matriz representação [f]alpha^gamma.
  • g: P2(R) R^2 com a matriz representação [g]beta^alpha.
Nosso objetivo é determinar várias composições dessas transformações e suas aplicações em vetores e matrizes específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa [f]alpha^gamma e [g]beta^alpha. Essas matrizes representam as transformações lineares em relação às bases fornecidas.
  • [f]alpha^gamma é a matriz que representa f quando o domínio usa a base gamma e o contradomínio usa a base alpha.
  • [g]beta^alpha é a matriz que representa g quando o domínio usa a base alpha e o contradomínio usa a base beta.
Para encontrar [g circ f]beta^gamma, precisamos multiplicar as matrizes das transformações na ordem correta.

Passo 3

Vamos calcular a matriz de g circ f. Sabemos que a matriz de uma composição de transformações lineares é o produto das matrizes individuais.
[g circ f]beta^gamma = [g]beta^alpha cdot [f]alpha^gamma
Dado:
[g]beta^alpha = 1 & -2 & -3 0 & -2 & -3 , [f]alpha^gamma = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1/3 & 1/3
No entanto, observamos que as dimensões das matrizes não são compatíveis para multiplicação direta. Precisamos revisar as dimensões ou interpretar corretamente as bases envolvidas para garantir que a multiplicação seja válida.

Passo 4

Vamos reavaliar as dimensões:
  • [f]alpha^gamma é uma matriz 3 times 4, o que sugere que M2(R) tem dimensão 4 e P2(R) tem dimensão 3.
  • [g]beta^alpha é uma matriz 2 times 3, já que P2(R) tem dimensão 3 e R^2 tem dimensão 2.
Agora, multiplicando [g]beta^alpha ( 2 times 3) por [f]alpha^gamma ( 3 times 4):
[g circ f]beta^gamma = [g]beta^alpha cdot [f]alpha^gamma = 1 & -2 & -3 0 & -2 & -3 cdot 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1/3 & 1/3

Passo 5

Agora realizamos a multiplicação de matrizes:
Para a primeira linha de [g]beta^alpha:
1 & -2 & -3 cdot 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1/3 & 1/3 = 1 cdot 1 + (-2) cdot 0 + (-3) cdot 0 = 1 1 cdot 1 + (-2) cdot 0 + (-3) cdot 0 = 1 1 cdot 0 + (-2) cdot 1 + (-3) cdot (-1/3) = 0 - 2 + 1 = -1 1 cdot 0 + (-2) cdot 0 + (-3) cdot 1/3 = 0 + 0 -1 = -1
Para a segunda linha de [g]beta^alpha:
0 & -2 & -3 cdot 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1/3 & 1/3 = 0 cdot 1 + (-2) cdot 0 + (-3) cdot 0 = 0 0 cdot 1 + (-2) cdot 0 + (-3) cdot 0 = 0 0 cdot 0 + (-2) cdot 1 + (-3) cdot (-1/3) = 0 - 2 + 1 = -1 0 cdot 0 + (-2) cdot 0 + (-3) cdot 1/3 = 0 + 0 -1 = -1
Então, a matriz resultante é:
[g circ f]beta^gamma = 1 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & -1 & -1

Passo 6

Agora, vamos determinar (g circ f)(1 & 0 2 & 1).
Primeiro, aplicamos f na matriz:
f(1 & 0 2 & 1)
Usando a matriz [f]alpha^gamma, precisamos expressar a matriz 1 & 0 2 & 1 na base canônica gamma e depois multiplicar pela matriz de f.

Passo 7

Para simplificar, assumimos que gamma é a base canônica, então a matriz já está expressa em gamma. Vamos representar a matriz como um vetor coluna:
1 & 0 2 & 1 1 0 2 1
Agora, aplicamos [f]alpha^gamma:
[f]alpha^gamma cdot 1 0 2 1 = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot 2 + 0 cdot 1 0 cdot 1 + 0 cdot 0 + 1 cdot 2 + 0 cdot 1 0 cdot 1 + 0 cdot 0 + (-1/3) cdot 2 + (1/3) cdot 1 = 1 2 (-2/3) + (1/3) = 1 2 -1/3

Passo 8

Agora, aplicamos g no resultado de f:
g(1 2 -1/3)
Usamos a matriz [g]beta^alpha para transformar o polinômio na base alpha para R^2 na base beta:
[g]beta^alpha cdot 1 2 -1/3 = 1 cdot 1 + (-2) cdot 2 + (-3) cdot (-1/3) 0 cdot 1 + (-2) cdot 2 + (-3) cdot (-1/3) = 1 - 4 + 1 0 - 4 + 1 = -2 -3

Passo 9

Para a parte 16c, queremos encontrar g(x t^2 + y t + z).
Primeiro, expressamos o polinômio x t^2 + y t + z na base alpha = t^2, t+1, 3.
Vamos escrever:
x t^2 + y t + z = a(t^2) + b(t+1) + c(3)
Isso nos dá o sistema:
a = x b = y - c c = z3
Resolvendo:
c = z3, b = y - z3, a = x
Então, o vetor de coordenadas na base alpha é:
x y - z3 z3

Passo 10

Agora, aplicamos g usando a matriz [g]beta^alpha:
[g]beta^alpha cdot x y - z3 z3 = 1 cdot x + (-2) cdot (y - z3) + (-3) cdot z3 0 cdot x + (-2) cdot (y - z3) + (-3) cdot z3
Simplificando:
Primeira componente:
x - 2y + 2z3 - z = x - 2y - z3
Segunda componente:
-2y + 2z3 - z = -2y - z3

Passo 11

Então, temos:
g(x t^2 + y t + z) = x - 2y - z3 -2y - z3

Passo 12

Para a parte 16d, queremos encontrar f(x & y z & w).
Usamos a matriz [f]alpha^gamma para transformar a matriz na base canônica para P2(R).
Representamos a matriz como vetor coluna:
x & y z & w x y z w
Aplicamos [f]alpha^gamma:
[f]alpha^gamma cdot x y z w = 1 cdot x + 1 cdot y + 0 cdot z + 0 cdot w 0 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z + 0 cdot w 0 cdot x + 0 cdot y + (-1/3) cdot z + (1/3) cdot w = x + y z -z + w3

Passo 13

Então, temos:
f(x & y z & w) = (x + y) t^2 + z (t + 1) + -z + w3 cdot 3
Simplificando:
= (x + y) t^2 + z t + z + (-z + w)
= (x + y) t^2 + z t + w

Passo 14

Para a parte 16e, queremos encontrar (g circ f)(x & y z & w).
Sabemos que:
g circ f = [g circ f]beta^gamma cdot x y z w = 1 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & -1 & -1 cdot x y z w

Passo 15

Realizando a multiplicação:
Primeira componente:
1 cdot x + 1 cdot y + (-1) cdot z + (-1) cdot w = x + y - z - w
Segunda componente:
0 cdot x + 0 cdot y + (-1) cdot z + (-1) cdot w = -z - w

Resposta

A matriz de g circ f é:
[g circ f]beta^gamma = 1 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & -1 & -1
Além disso:
a) [g circ f]beta^gamma = 1 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & -1 & -1
b) (g circ f)(1 & 0 2 & 1) = -2 -3
c) g(x t^2 + y t + z) = x - 2y - z3 -2y - z3
d) f(x & y z & w) = (x + y) t^2 + z t + w
e) (g circ f)(x & y z & w) = x + y - z - w -z - w

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