Vamos resumir o que o exercício pede. Temos três bases:
, que é uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2, .
, que é uma base para .
é a base canônica para , que é o conjunto de matrizes com entradas reais.
Além disso, temos duas transformações lineares:
com a matriz representação .
com a matriz representação .
Nosso objetivo é determinar várias composições dessas transformações e suas aplicações em vetores e matrizes específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa e . Essas matrizes representam as transformações lineares em relação às bases fornecidas.
é a matriz que representa quando o domínio usa a base e o contradomínio usa a base .
é a matriz que representa quando o domínio usa a base e o contradomínio usa a base .
Para encontrar , precisamos multiplicar as matrizes das transformações na ordem correta.
Passo 3
Vamos calcular a matriz de . Sabemos que a matriz de uma composição de transformações lineares é o produto das matrizes individuais.
Dado:
No entanto, observamos que as dimensões das matrizes não são compatíveis para multiplicação direta. Precisamos revisar as dimensões ou interpretar corretamente as bases envolvidas para garantir que a multiplicação seja válida.
Passo 4
Vamos reavaliar as dimensões:
é uma matriz , o que sugere que tem dimensão 4 e tem dimensão 3.
é uma matriz , já que tem dimensão 3 e tem dimensão 2.
Agora, multiplicando () por ():
Passo 5
Agora realizamos a multiplicação de matrizes:
Para a primeira linha de :
Para a segunda linha de :
Então, a matriz resultante é:
Passo 6
Agora, vamos determinar .
Primeiro, aplicamos na matriz:
Usando a matriz , precisamos expressar a matriz na base canônica e depois multiplicar pela matriz de .
Passo 7
Para simplificar, assumimos que é a base canônica, então a matriz já está expressa em . Vamos representar a matriz como um vetor coluna:
Agora, aplicamos :
Passo 8
Agora, aplicamos no resultado de :
Usamos a matriz para transformar o polinômio na base para na base :
Passo 9
Para a parte 16c, queremos encontrar .
Primeiro, expressamos o polinômio na base .
Vamos escrever:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Então, o vetor de coordenadas na base é:
Passo 10
Agora, aplicamos usando a matriz :
Simplificando:
Primeira componente:
Segunda componente:
Passo 11
Então, temos:
Passo 12
Para a parte 16d, queremos encontrar .
Usamos a matriz para transformar a matriz na base canônica para .