Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
?
; tais que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em
definidos por
onde
. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar que, para um conjunto ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se esse vetor pertence ao nosso conjunto.
Substituindo na equação
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Verificando a clausura sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
pertencentes ao nosso conjunto. Isso significa que:
Agora, somamos os dois vetores:
Vamos verificar se
também satisfaz a condi��ão
:
Portanto,
pertence ao conjunto, mostrando que o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando a clausura sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer
no conjunto e multiplicá-lo por um escalar
:
Agora, verificamos se
também satisfaz a condição
:
Assim,
também pertence ao conjunto, comprovando que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto definido por
tais que
é um subespaço de
.