Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R^3 ?
(x, y, z); tais que z=x+y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em definidos por onde . Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar que, para um conjunto ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em 0 = 0 + 0 Rightarrow 0 = 0 é . Vamos ver se esse vetor pertence ao nosso conjunto.
Substituindo na equação :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Verificando a clausura sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer z1 = x1 + y1 e z2 = x2 + y2 e u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) pertencentes ao nosso conjunto. Isso significa que:
z1 + z2 = (x1 + y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2)
Agora, somamos os dois vetores:
Rightarrow z' = x' + y'
Vamos verificar se também satisfaz a condi��ão :
Portanto, pertence ao conjunto, mostrando que o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando a clausura sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer c cdot u = (c x, c y, c z) no conjunto e multiplicá-lo por um escalar c z = c (x + y) = c x + c y :
Rightarrow z' = x' + y'
Agora, verificamos se também satisfaz a condição :
Assim, também pertence ao conjunto, comprovando que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto definido por tais que é um subespaço de .

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