Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ? ; tais que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em definidos por onde . Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar que, para um conjunto ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição de vetores.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se esse vetor pertence ao nosso conjunto.
Substituindo na equação :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Verificando a clausura sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer e pertencentes ao nosso conjunto. Isso significa que:
Agora, somamos os dois vetores:
Vamos verificar se também satisfaz a condi��ão :
Portanto, pertence ao conjunto, mostrando que o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando a clausura sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer no conjunto e multiplicá-lo por um escalar :
Agora, verificamos se também satisfaz a condição :
Assim, também pertence ao conjunto, comprovando que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto definido por tais que é um subespaço de .