Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ?
; tais que

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores em definidos por onde . Nosso objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar que, para um conjunto ser um subespaço, ele deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se esse vetor pertence ao nosso conjunto.
Substituindo na equação :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Verificando a clausura sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer e pertencentes ao nosso conjunto. Isso significa que:
Agora, somamos os dois vetores:
Vamos verificar se também satisfaz a condi��ão :
Portanto, pertence ao conjunto, mostrando que o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando a clausura sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer no conjunto e multiplicá-lo por um escalar :
Agora, verificamos se também satisfaz a condição :
Assim, também pertence ao conjunto, comprovando que o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto definido por tais que é um subespaço de .

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Considere munido das seguintes operações e tal que Será que é um espaço vetorial com estas operações? . Que axiomas são violados?
onde e são bases de e , respectivamente. Determinar os valores de que satisfaz a condição de cada item abaixo.
18a) é injetora.
18b) é sobrejetora.
18c) .
21a) Encontre a matriz mudança de base .
21b) Utilize a matriz do item anterior para calcular , sabendo que .
21c) Encontre a matriz mudança de base .
Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ?
; tais que