Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ? ; tais que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um conjunto de vetores no espaço tridimensional , ou seja, vetores com três componentes: . A condição que esses vetores precisam satisfazer é que . Nosso objetivo aqui é descobrir se esse conjunto é um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço e verificar se nosso conjunto cumpre essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço de um espaço vetorial (como ) é um conjunto de vetores que satisfaz três condições principais:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
Fechamento pela adição: Se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechamento pela multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas três condições para o nosso conjunto: vetores onde .
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está no conjunto. ✅
Passo 4
2. Verificando o fechamento pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do nosso conjunto:
Primeiro vetor: , onde
Segundo vetor: , onde
Agora, somamos esses vetores:
Para que o conjunto seja um subespaço, essa soma também precisa satisfazer a condição :
Vamos expandir o lado esquerdo:
E o lado direito:
Substituindo e :
Simplificando:
Ou seja:
Essa igualdade nem sempre é verdadeira para vetores quaisquer que satisfaçam . Portanto, o conjunto não é fechado pela adição. ❌
Passo 5
3. Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do nosso conjunto: , onde , e um escalar qualquer .
Multiplicando o vetor por , temos:
Para que o conjunto seja um subespaço, esse novo vetor também precisa satisfazer a condição :
Isso é verdadeiro para todo , já que a equação se simplifica corretamente. Portanto, o conjunto é fechado pela multiplicação por escalar. ✅
Resposta
Apesar de o conjunto conter o vetor zero e ser fechado pela multiplicação por escalar, ele não é fechado pela adição. Assim, o conjunto de vetores em que satisfazem não é um subespaço de .