Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R^3 ?
(x, y, z); tais que z^2=x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um conjunto de vetores no espaço tridimensional R^3, ou seja, vetores com três componentes: (x, y, z). A condição que esses vetores precisam satisfazer é que z^2 = x^2 + y^2. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse conjunto é um subespaço de R^3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço e verificar se nosso conjunto cumpre essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço de um espaço vetorial (como R^3) é um conjunto de vetores que satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) deve estar no conjunto.
  2. Fechamento pela adição: Se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas três condições para o nosso conjunto: vetores (x, y, z) onde z^2 = x^2 + y^2.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele satisfaz a condição z^2 = x^2 + y^2:
0^2 = 0^2 + 0^2 implies 0 = 0 + 0 implies 0 = 0
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está no conjunto. ✅

Passo 4

2. Verificando o fechamento pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do nosso conjunto:
  • Primeiro vetor: (x1, y1, z1), onde z1^2 = x1^2 + y1^2
  • Segundo vetor: (x2, y2, z2), onde z2^2 = x2^2 + y2^2
Agora, somamos esses vetores:
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Para que o conjunto seja um subespaço, essa soma também precisa satisfazer a condição z^2 = x^2 + y^2:
(z1 + z2)^2 stackrel?= (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2
Vamos expandir o lado esquerdo:
(z1 + z2)^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2
E o lado direito:
(x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1^2 + 2y1y2 + y2^2
Substituindo z1^2 = x1^2 + y1^2 e z2^2 = x2^2 + y2^2:
(x1^2 + y1^2) + 2z1z2 + (x2^2 + y2^2) stackrel?= x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1^2 + 2y1y2 + y2^2
Simplificando:
2z1z2 stackrel?= 2x1x2 + 2y1y2
Ou seja:
z1z2 = x1x2 + y1y2
Essa igualdade nem sempre é verdadeira para vetores quaisquer que satisfaçam z^2 = x^2 + y^2. Portanto, o conjunto não é fechado pela adição. ❌

Passo 5

3. Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do nosso conjunto: (x, y, z), onde z^2 = x^2 + y^2, e um escalar qualquer alpha in R.
Multiplicando o vetor por alpha, temos:
(alpha x, alpha y, alpha z)
Para que o conjunto seja um subespaço, esse novo vetor também precisa satisfazer a condição z^2 = x^2 + y^2:
(alpha z)^2 = (alpha x)^2 + (alpha y)^2
alpha^2 z^2 = alpha^2 x^2 + alpha^2 y^2
alpha^2 (x^2 + y^2) = alpha^2 x^2 + alpha^2 y^2
Isso é verdadeiro para todo alpha, já que a equação se simplifica corretamente. Portanto, o conjunto é fechado pela multiplicação por escalar. ✅

Resposta

Apesar de o conjunto conter o vetor zero e ser fechado pela multiplicação por escalar, ele não é fechado pela adição. Assim, o conjunto de vetores (x, y, z) em R^3 que satisfazem z^2 = x^2 + y^2 não é um subespaço de R^3.

Exercícios relacionados