Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
?
; tais que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um conjunto de vetores no espaço tridimensional
, ou seja, vetores com três componentes:
. A condição que esses vetores precisam satisfazer é que
. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse conjunto é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço e verificar se nosso conjunto cumpre essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço de um espaço vetorial (como
) é um conjunto de vetores que satisfaz três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechamento pela adição: Se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechamento pela multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor do conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas três condições para o nosso conjunto: vetores
onde
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está no conjunto. ✅
Passo 4
2. Verificando o fechamento pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do nosso conjunto:
- Primeiro vetor:
, onde - Segundo vetor:
, onde
Agora, somamos esses vetores:
Para que o conjunto seja um subespaço, essa soma também precisa satisfazer a condição
:
Vamos expandir o lado esquerdo:
E o lado direito:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Ou seja:
Essa igualdade nem sempre é verdadeira para vetores quaisquer que satisfaçam
. Portanto, o conjunto não é fechado pela adição. ❌
Passo 5
3. Verificando o fechamento pela multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do nosso conjunto:
, onde
, e um escalar qualquer
.
Multiplicando o vetor por
, temos:
Para que o conjunto seja um subespaço, esse novo vetor também precisa satisfazer a condição
:
Isso é verdadeiro para todo
, já que a equação se simplifica corretamente. Portanto, o conjunto é fechado pela multiplicação por escalar. ✅
Resposta
Apesar de o conjunto conter o vetor zero e ser fechado pela multiplicação por escalar, ele não é fechado pela adição. Assim, o conjunto de vetores
em
que satisfazem
não é um subespaço de
.