Considere V=(x1, x2): x1, x2 in R munido das seguintes operações u+v=(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2), alpha(x1, x2)=(alpha x1, 0) e tal que -u=(-x1,-x2) Será que V é um espaço vetorial com estas operações? . Que axiomas são violados?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto formado por pares ordenados onde e são números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de um jeito específico:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
  • Inverso aditivo:
Queremos saber se com essas operações é um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas. Vamos precisar lembrar quais são esses axiomas e ver se eles se mantêm com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar os axiomas básicos de um espaço vetorial. São eles:
  1. Fechamento pela adição: A soma de dois vetores está em .
  2. Comutatividade da adição: .
  3. Associatividade da adição: .
  4. Existência do vetor nulo: Existe um vetor tal que .
  5. Existência do inverso aditivo: Para todo , existe tal que .
  6. Fechamento pela multiplicação por escalar: está em .
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
  9. Associatividade da multiplicação por escalares: .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 3

1. Fechamento pela adição:
A adição está definida como soma componente a componente:
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
Como a soma de dois números reais é real, a soma de dois vetores em (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) = (y1 + x1, y2 + x2) = (y1, y2) + (x1, x2) também está em [(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2) = (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2) = (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2) . Axioma satisfeito.
2. Comutatividade da adição:
(x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] = (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2) = (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2)
Axioma satisfeito.
3. Associatividade da adição:
(x1, x2) + (0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0) = (x1, x2)
(x1, x2) + (-x1, -x2) = (0, 0)
Axioma satisfeito.
4. Existência do vetor nulo:
O vetor atua como neutro:
Axioma satisfeito.
5. Existência do inverso aditivo:
Para cada , o inverso é :
Axioma satisfeito.

Passo 4

6. Fechamento pela multiplicação por escalar:
A multiplicação está definida como:
alpha(x1, x2) = (alpha x1, 0)
Para qualquer escalar alpha[(x1, x2) + (y1, y2)] = alpha(x1 + y1, x2 + y2) = (alpha(x1 + y1), 0) e vetor alpha(x1, x2) + alpha(y1, y2) = (alpha x1, 0) + (alpha y1, 0) = (alpha x1 + alpha y1, 0 + 0) = (alpha(x1 + y1), 0) , o resultado (alpha + beta)(x1, x2) = ((alpha + beta)x1, 0) está em alpha(x1, x2) + beta(x1, x2) = (alpha x1, 0) + (beta x1, 0) = (alpha x1 + beta x1, 0 + 0) = ((alpha + beta)x1, 0) . Axioma satisfeito.
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Vamos verificar se:
E:
Como os dois lados são iguais, axioma satisfeito.
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se:
E:
Como os dois lados são iguais, axioma satisfeito.

Passo 5

9. Associatividade da multiplicação por escalares:
Vamos verificar se:
alpha(beta(x1, x2)) = alpha(beta x1, 0) = (alpha beta x1, 0)
E:
(alpha beta)(x1, x2) = (alpha beta x1, 0)
Como os dois lados são iguais, axioma satisfeito.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
A gente espera que:
1(x1, x2) = (1 cdot x1, 0) = (x1, 0)
Mas o vetor original é 1(x1, x2) = (x1, x2) , então a menos que , não temos:
Ou seja, esse axioma não é satisfeito.

Resposta

Não, não é um espaço vetorial com as operações definidas. O axioma que é violado é o da identidade da multiplicação por escalar, onde deveria resultar em , mas na definição dada, , que só coincide com se .

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