Considere
munido das seguintes operações
e tal que
Será que
é um espaço vetorial com estas operações? . Que axiomas são violados?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
formado por pares ordenados
onde
e
são números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de um jeito específico:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
- Inverso aditivo:
Queremos saber se
com essas operações é um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas. Vamos precisar lembrar quais são esses axiomas e ver se eles se mantêm com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar os axiomas básicos de um espaço vetorial. São eles:
- Fechamento pela adição: A soma de dois vetores está em
. - Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Existência do vetor nulo: Existe um vetor
tal que . - Existência do inverso aditivo: Para todo
, existe tal que . - Fechamento pela multiplicação por escalar:
está em . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Associatividade da multiplicação por escalares:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
1. Fechamento pela adição:
A adição está definida como soma componente a componente:
Como a soma de dois números reais é real, a soma de dois vetores em
também está em
. Axioma satisfeito.
2. Comutatividade da adição:
Axioma satisfeito.
3. Associatividade da adição:
Axioma satisfeito.
4. Existência do vetor nulo:
O vetor
atua como neutro:
Axioma satisfeito.
5. Existência do inverso aditivo:
Para cada
, o inverso é
:
Axioma satisfeito.
Passo 4
6. Fechamento pela multiplicação por escalar:
A multiplicação está definida como:
Para qualquer escalar
e vetor
, o resultado
está em
. Axioma satisfeito.
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Vamos verificar se:
E:
Como os dois lados são iguais, axioma satisfeito.
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se:
E:
Como os dois lados são iguais, axioma satisfeito.
Passo 5
9. Associatividade da multiplicação por escalares:
Vamos verificar se:
E:
Como os dois lados são iguais, axioma satisfeito.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
A gente espera que:
Mas o vetor original é
, então a menos que
, não temos:
Ou seja, esse axioma não é satisfeito.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial com as operações definidas. O axioma que é violado é o da identidade da multiplicação por escalar, onde
deveria resultar em
, mas na definição dada,
, que só coincide com
se
.