Considere munido das seguintes operações e tal que Será que é um espaço vetorial com estas operações? . Que axiomas são violados?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto formado por pares ordenados onde e são números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de um jeito específico:
Adição:
Multiplicação por escalar:
Inverso aditivo:
Queremos saber se com essas operações é um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar se todas as axiomas de espaço vetorial são satisfeitas. Vamos precisar lembrar quais são esses axiomas e ver se eles se mantêm com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar os axiomas básicos de um espaço vetorial. São eles:
Fechamento pela adição: A soma de dois vetores está em .
Comutatividade da adição: .
Associatividade da adição: .
Existência do vetor nulo: Existe um vetor tal que .
Existência do inverso aditivo: Para todo , existe tal que .
Fechamento pela multiplicação por escalar: está em .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
Associatividade da multiplicação por escalares: .
Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 3
1. Fechamento pela adição:
A adição está definida como soma componente a componente:
Como a soma de dois números reais é real, a soma de dois vetores em também está em . Axioma satisfeito.
2. Comutatividade da adição:
Axioma satisfeito.
3. Associatividade da adição:
Axioma satisfeito.
4. Existência do vetor nulo:
O vetor atua como neutro:
Axioma satisfeito.
5. Existência do inverso aditivo:
Para cada , o inverso é :
Axioma satisfeito.
Passo 4
6. Fechamento pela multiplicação por escalar:
A multiplicação está definida como:
Para qualquer escalar e vetor , o resultado está em . Axioma satisfeito.
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Vamos verificar se:
E:
Como os dois lados são iguais, axioma satisfeito.
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Vamos verificar se:
E:
Como os dois lados são iguais, axioma satisfeito.
Passo 5
9. Associatividade da multiplicação por escalares:
Vamos verificar se:
E:
Como os dois lados são iguais, axioma satisfeito.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
A gente espera que:
Mas o vetor original é , então a menos que , não temos:
Ou seja, esse axioma não é satisfeito.
Resposta
Não, não é um espaço vetorial com as operações definidas. O axioma que é violado é o da identidade da multiplicação por escalar, onde deveria resultar em , mas na definição dada, , que só coincide com se .