Para f(r)=x^2+2 y^2+3 z^2, use a aproximação d f=nabla f cdot d r para estimar a variação de f ao mover do ponto r=(1,1,1) a(1,01 ; 1,03 ; 1,05). Compare com o resultado exato.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos estimar a variação de quando nos movemos do ponto para . Para isso, vamos usar a aproximação , onde é o gradiente de e é o pequeno deslocamento. Depois, vamos comparar esse resultado com a variação exata de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) , que é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x, partial fpartial y = 4y, partial fpartial z = 6z em relação a cada variável. Ou seja,
nabla f = (2x, 4y, 6z)
Calculando as derivadas parciais:
nabla f(1,1,1) = (2 times 1, 4 times 1, 6 times 1) = (2, 4, 6)
Então,
No ponto , o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar o deslocamento dr = a - r = (1.01 - 1, 1.03 - 1, 1.05 - 1) = (0.01, 0.03, 0.05) , que é a diferença entre o ponto final e o ponto inicial :

Passo 4

Com o gradiente e o deslocamento em mãos, podemos usar a aproximação para a variação de df approx nabla f cdot dr = (2, 4, 6) cdot (0.01, 0.03, 0.05) :
df approx (2 times 0.01) + (4 times 0.03) + (6 times 0.05) = 0.02 + 0.12 + 0.30 = 0.44
O produto escalar é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando:
Então, a variação aproximada de usando o gradiente é .

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação exata de f(1,1,1) = 1^2 + 2 times 1^2 + 3 times 1^2 = 1 + 2 + 3 = 6 entre os dois pontos. Primeiro, vamos calcular f(1.01,1.03,1.05) = (1.01)^2 + 2 times (1.03)^2 + 3 times (1.05)^2 nos dois pontos:
Para (1.01)^2 = 1.0201 :
2 times (1.03)^2 = 2 times 1.0609 = 2.1218
Para 3 times (1.05)^2 = 3 times 1.1025 = 3.3075 :
f(1.01,1.03,1.05) = 1.0201 + 2.1218 + 3.3075 = 6.4494
Vamos calcular cada termo:
De
Somando tudo:
A variação exata de é:

Resposta

Usando a aproximação com o gradiente, a variação de é aproximadamente . A variação exata de é . Os resultados são bastante próximos, mostrando que a aproximação foi eficiente para pequenos deslocamentos.

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