Para
, use a aproximação
para estimar a variação de
ao mover do ponto
. Compare com o resultado exato.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos estimar a variação de
quando nos movemos do ponto
para
. Para isso, vamos usar a aproximação
, onde
é o gradiente de
e
é o pequeno deslocamento. Depois, vamos comparar esse resultado com a variação exata de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
, que é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja,
Calculando as derivadas parciais:
Então,
No ponto
, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar o deslocamento
, que é a diferença entre o ponto final
e o ponto inicial
:
Passo 4
Com o gradiente e o deslocamento em mãos, podemos usar a aproximação para a variação de
:
O produto escalar é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando:
Então, a variação aproximada de
usando o gradiente é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variação exata de
entre os dois pontos. Primeiro, vamos calcular
nos dois pontos:
Para
:
Para
:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
A variação exata de
é:
Resposta
Usando a aproximação com o gradiente, a variação de
é aproximadamente
. A variação exata de
é
. Os resultados são bastante próximos, mostrando que a aproximação foi eficiente para pequenos deslocamentos.