Uma haste infinitamente longa e de massa uniforme
por unidade de comprimento, está situada sobre o eixo
. (a) Calcule a força gravitacional
sobre una massa pontual
a uma distância
do eixo
. (b) Reescreva
em termos das coordenadas retangulares
do ponto e verifique que
. © Mostre que
usando a expressão para
coordenadas cilíndricas. (d) Determine a energia potencial correspondente
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste infinitamente longa com massa por unidade de comprimento igual a
, posicionada ao longo do eixo
. Queremos calcular a força gravitacional
sobre uma massa pontual
que está a uma distância
do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de gravitação e cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre duas massas é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
Onde:
-
é a constante gravitacional. -
é a massa pontual. -
é a massa que está gerando o campo gravitacional. -
é a distância entre as massas. -
é o vetor unitário na direção de .
No nosso caso, a massa geradora
não é uma massa pontual, mas uma haste infinita, então vamos precisar integrar ao longo da haste.
Passo 3
Vamos considerar um elemento infinitesimal de massa na haste,
, onde
é um pequeno pedaço ao longo do eixo
. A distância entre esse elemento e a massa
está a uma distância
do eixo
, então a distância total é
.
A força gravitacional causada por esse elemento é:
Aqui,
é a direção radial no sistema cilíndrico.
Passo 4
Para encontrar a força total
, integramos
de
até
:
Vamos resolver essa integral. Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A força gravitacional sobre a massa pontual
é dada por: