Uma haste infinitamente longa e de massa uniforme mu por unidade de comprimento, está situada sobre o eixo z. (a) Calcule a força gravitacional F sobre una massa pontual m a uma distância rho do eixo z. (b) Reescreva F em termos das coordenadas retangulares (x, y, z) do ponto e verifique que nabla times F=0. © Mostre que nabla times F=0 usando a expressão para nabla times F cm coordenadas cilíndricas. (d) Determine a energia potencial correspondente U.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma haste infinitamente longa com massa por unidade de comprimento igual a mu, posicionada ao longo do eixo z. Queremos calcular a força gravitacional F sobre uma massa pontual m que está a uma distância rho do eixo z. Para isso, vamos usar conceitos de gravitação e cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre duas massas é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
F = G m Mr^2 r
Onde:
  • G é a constante gravitacional.
  • m é a massa pontual.
  • M é a massa que está gerando o campo gravitacional.
  • r é a distância entre as massas.
  • r é o vetor unitário na direção de r.
No nosso caso, a massa geradora M não é uma massa pontual, mas uma haste infinita, então vamos precisar integrar ao longo da haste.

Passo 3

Vamos considerar um elemento infinitesimal de massa na haste, dm = mu dz, onde dz é um pequeno pedaço ao longo do eixo z. A distância entre esse elemento e a massa m está a uma distância rho do eixo z, então a distância total é r = raizrho^2 + z^2.
A força gravitacional causada por esse elemento é:
dF = G m , dmr^2 r = G m mu dzrho^2 + z^2 rhorho rho = G m mu rho(rho^2 + z^2)^3/2 dz , rho
Aqui, rho é a direção radial no sistema cilíndrico.

Passo 4

Para encontrar a força total F, integramos dF de z = -infty até z = +infty:
F = integral-infty^+infty G m mu rho(rho^2 + z^2)^3/2 dz , rho
Vamos resolver essa integral. Sabemos que:
integral-infty^+infty dz(rho^2 + z^2)^3/2 = 2rho^2
Portanto:
F = G m mu rho cdot 2rho^2 rho = 2 G m murho rho

Resposta

A força gravitacional sobre a massa pontual m é dada por:
F = 2 G m murho rho

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