Uma massa
está sob um campo gravitacional uniforme, o qual exerce a força usual
verticalmente para baixo, mas com
variando no tempo,
. Escolhendo os cixos
verticalment para cima e definindo
como usualmente, mostre que
, como conhecido, mas, derivar
com respeito a
, mostre que
não é conservada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa
que está sob a influência de um campo gravitacional que varia com o tempo, ou seja, a gravidade
não é constante. Nosso objetivo é:
- Mostrar que a força
exercida é igual a , onde é a energia potencial. - Derivar a energia total
em relação ao tempo e demonstrar que não é conservada.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de forças conservativas, energia potencial, e como a variação no tempo de
afeta a conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a força
é igual a
.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Aqui,
é a posição vertical da massa. A força pode ser encontrada pelo gradiente negativo da energia potencial:
Como a variação ocorre somente na direção
, o gradiente simplifica para:
Calculando a derivada:
Portanto:
Que é a força gravitacional conhecida, apontando para baixo, já que
é a direção positiva para cima.
Passo 3
Agora, vamos derivar a energia total
em relação ao tempo para verificar se ela é conservada.
Primeiro, vamos escrever a expressão completa da energia total:
Para encontrar
, usamos a regra da derivada:
Sabemos que
e
, onde
é a aceleração.
Substituindo:
Agora, sabendo que
(da força gravitacional que já encontramos), substituímos
:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam:
Isso mostra que a taxa de variação da energia total depende de
.
Resposta
Como
está variando com o tempo (
) e
pode ser diferente de zero, temos que
. Portanto, a energia total
não é conservada.
Exercícios relacionados
Para
, use a aproximação
para estimar a variação de
ao mover do ponto
. Compare com o resultado exato.
Verifique se a força gravitacional
sobre uma carga pontual
em
, devido a uma massa pontual fixa
na origem, é conservativa e calcule a energia potencial correspondente.
Uma haste infinitamente longa e de massa uniforme
por unidade de comprimento, está situada sobre o eixo
. (a) Calcule a força gravitacional
sobre una massa pontual
a uma distância
do eixo
. (b) Reescreva
em termos das coordenadas retangulares
do ponto e verifique que
. © Mostre que
usando a expressão para
coordenadas cilíndricas. (d) Determine a energia potencial correspondente
.
(F) Uma linha de transmissão de alta voltagem é atravessada por uma corrente de 1000 A. Ela possui um comprimento de 200 km e um diâmetro de 2 cm . Se o material condutor do fio é o cobre, cuja densidade de elétrons vale aproximadamente
, determine o tempo necessário para um elétron atravessar completamente o cabo.