Uma massa m está sob um campo gravitacional uniforme, o qual exerce a força usual F=m g verticalmente para baixo, mas com g variando no tempo, g=g(t). Escolhendo os cixos com y verticalment para cima e definindo U=m g y como usualmente, mostre que F=-nabla U, como conhecido, mas, derivar E=12 m v^2+U com respeito a t, mostre que E não é conservada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa que está sob a influência de um campo gravitacional que varia com o tempo, ou seja, a gravidade não é constante. Nosso objetivo é:
  1. Mostrar que a força exercida é igual a , onde é a energia potencial.
  2. Derivar a energia total em relação ao tempo e demonstrar que não é conservada.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de forças conservativas, energia potencial, e como a variação no tempo de afeta a conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a força U = m g y é igual a F = -nabla U .
A energia potencial gravitacional é dada por:
F = -partial Upartial y j
Aqui, partial Upartial y = m g é a posição vertical da massa. A força pode ser encontrada pelo gradiente negativo da energia potencial:
F = -m g j
Como a variação ocorre somente na direção , o gradiente simplifica para:
Calculando a derivada:
Portanto:
Que é a força gravitacional conhecida, apontando para baixo, já que é a direção positiva para cima.

Passo 3

Agora, vamos derivar a energia total E = 12 m v^2 + m g(t) y em relação ao tempo para verificar se ela é conservada.
Primeiro, vamos escrever a expressão completa da energia total:
dEdt = m v dvdt + m dg(t)dt y + m g(t) dydt
Para encontrar dEdt = m v a + m dg(t)dt y + m g(t) v , usamos a regra da derivada:
dEdt = m v (-g(t)) + m dg(t)dt y + m g(t) v
Sabemos que dEdt = -m g(t) v + m dg(t)dt y + m g(t) v e dEdt = m dg(t)dt y , onde é a aceleração.
Substituindo:
Agora, sabendo que (da força gravitacional que já encontramos), substituímos :
Simplificando:
Os termos e se cancelam:
Isso mostra que a taxa de variação da energia total depende de .

Resposta

Como está variando com o tempo ( ) e pode ser diferente de zero, temos que . Portanto, a energia total não é conservada.

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