Verifique se a força gravitacional -G M m r / r^2 sobre uma carga pontual m em r, devido a uma massa pontual fixa M na origem, é conservativa e calcule a energia potencial correspondente.

Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos verificar se a força gravitacional F = -G M mr^2 r, que atua sobre uma massa pontual m localizada em r devido a uma massa fixa M na origem, é conservativa. Além disso, precisamos calcular a energia potencial associada a essa força. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e energia potencial em campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma força é conservativa se existir uma função escalar, chamada de energia potencial U(r), tal que F = -nabla U. Isso significa que a força pode ser derivada de uma potencial e que o trabalho realizado por essa força é independente do caminho percorrido.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional da força F para verificar se ela é conservativa. Se o rotacional for zero, a força é conservativa. O rotacional em coordenadas esféricas para uma força radial como a nossa é:
nabla times F = 0
Como a força F é radial e depende apenas de r, seu rotacional é realmente zero, o que confirma que a força é conservativa.

Passo 4

Agora que sabemos que a for��a é conservativa, podemos encontrar a energia potencial U(r) integrando a força em relação à posição. A relação é:
U(r) = - integral F cdot dr
Substituindo a expressão da força:
U(r) = - integral (-G M mr^2 r) cdot r dr = - integral G M mr^2 dr

Passo 5

Integrando, temos:
U(r) = - ( -G M mr ) + C = -G M mr + C
Aqui, C é uma constante de integração que pode ser definida como zero escolhendo que a energia potencial tende a zero quando r tende ao infinito.

Resposta

A força gravitacional F = -G M mr^2 r é conservativa, e a energia potencial correspondente é:
U(r) = -G M mr

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