Verifique se a força gravitacional
sobre uma carga pontual
em
, devido a uma massa pontual fixa
na origem, é conservativa e calcule a energia potencial correspondente.
Passo 1
Vamos analisar o problema: queremos verificar se a força gravitacional
, que atua sobre uma massa pontual
localizada em
devido a uma massa fixa
na origem, é conservativa. Além disso, precisamos calcular a energia potencial associada a essa força. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e energia potencial em campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma força é conservativa se existir uma função escalar, chamada de energia potencial
, tal que
. Isso significa que a força pode ser derivada de uma potencial e que o trabalho realizado por essa força é independente do caminho percorrido.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional da força
para verificar se ela é conservativa. Se o rotacional for zero, a força é conservativa. O rotacional em coordenadas esféricas para uma força radial como a nossa é:
Como a força
é radial e depende apenas de
, seu rotacional é realmente zero, o que confirma que a força é conservativa.
Passo 4
Agora que sabemos que a for��a é conservativa, podemos encontrar a energia potencial
integrando a força em relação à posição. A relação é:
Substituindo a expressão da força:
Passo 5
Integrando, temos:
Aqui,
é uma constante de integração que pode ser definida como zero escolhendo que a energia potencial tende a zero quando
tende ao infinito.
Resposta
A força gravitacional
é conservativa, e a energia potencial correspondente é:
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Calcule o gradiente
das seguintes funções,
: (a)
; (b)
, com k constante. ©
; (d)
; (e)
(f)
.
Quais das seguintes forças são conservativas? (a)
, onde
é uma constante. (b)
©
. Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial
correspondente e verifique por derivação direta que
.
Para
, use a aproximação
para estimar a variação de
ao mover do ponto
. Compare com o resultado exato.
Uma massa
está sob um campo gravitacional uniforme, o qual exerce a força usual
verticalmente para baixo, mas com
variando no tempo,
. Escolhendo os cixos
verticalment para cima e definindo
como usualmente, mostre que
, como conhecido, mas, derivar
com respeito a
, mostre que
não é conservada.