Calcule o gradiente
das seguintes funções,
: (a)
; (b)
, com k constante. ©
; (d)
; (e)
(f)
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o gradiente
de várias funções
. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável (
,
,
). Precisamos aplicar isso em cada uma das funções listadas de (a) a (f).
Passo 2
(a)
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
-
-
(já que não depende de ) -
(b)
, onde
é constante
Derivadas parciais:
©
Primeiro, lembrando que
, então:
(d)
Aqui,
. Calculando as derivadas:
(e)
Derivadas parciais:
(f)
Aqui,
é um expoente qualquer. As derivadas ficam:
Resposta
O gradiente
das funções são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercícios relacionados
Quais das seguintes forças são conservativas? (a)
, onde
é uma constante. (b)
©
. Para aquelas que são conservativas, determine a energia potencial
correspondente e verifique por derivação direta que
.
Determine o rotacional,
, para as seguintes forças: (a)
; (b)
; ©
(
), onde
e
são constantes.
Verifique se a força gravitacional
sobre uma carga pontual
em
, devido a uma massa pontual fixa
na origem, é conservativa e calcule a energia potencial correspondente.
Para
, use a aproximação
para estimar a variação de
ao mover do ponto
. Compare com o resultado exato.