Calcule o gradiente nabla f das seguintes funções, f(x, y, z) : (a) f=x^2+z^3; (b) f=k y, com k constante. © f=r=raizx^2+y^2+z^2; (d) f=1 / r; (e) f=ln (r) ; (f) f=r^n.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o gradiente nabla f de várias funções f(x, y, z). O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável ( x, y, z). Precisamos aplicar isso em cada uma das funções listadas de (a) a (f).

Passo 2

(a) f = x^2 + z^3

Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
  • partial fpartial x = 2x
  • partial fpartial y = 0 (já que f não depende de y)
  • partial fpartial z = 3z^2

(b) f = k y, onde k é constante

Derivadas parciais:
  • partial fpartial x = 0
  • partial fpartial y = k
  • partial fpartial z = 0

© f = r = raizx^2 + y^2 + z^2

Primeiro, lembrando que r = raizx^2 + y^2 + z^2, então:
  • partial rpartial x = xr
  • partial rpartial y = yr
  • partial rpartial z = zr

(d) f = 1r

Aqui, f = r^-1. Calculando as derivadas:
  • partial fpartial x = -xr^3
  • partial fpartial y = -yr^3
  • partial fpartial z = -zr^3

(e) f = ln(r)

Derivadas parciais:
  • partial fpartial x = xr^2
  • partial fpartial y = yr^2
  • partial fpartial z = zr^2

(f) f = r^n

Aqui, n é um expoente qualquer. As derivadas ficam:
  • partial fpartial x = n r^n-2 x
  • partial fpartial y = n r^n-2 y
  • partial fpartial z = n r^n-2 z

Resposta

O gradiente nabla f das funções são:
a) nabla f = ( 2x, , 0, , 3z^2 )
b) nabla f = ( 0, , k, , 0 )
c) nabla f = ( dfracxr, , dfracyr, , dfraczr )
d) nabla f = ( -dfracxr^3, , -dfracyr^3, , -dfraczr^3 )
e) nabla f = ( dfracxr^2, , dfracyr^2, , dfraczr^2 )
f) nabla f = n r^n-2 ( x, , y, , z )

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