D_u^2 f = f_xx a^2 + 2 f_xy a b + f_yy b^2
(b) Determine a segunda derivada direcional de f(x, y) = x * e^(2 * y) na direção de v = <4, 6>.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a segunda derivada direcional da função na direção do vetor . Para isso, vamos usar a fórmula da segunda derivada direcional e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar o vetor . Normalizar significa ajustar o vetor para que ele tenha comprimento 1, o que facilita os cálculos. A fórmula para a norma (comprimento) de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Agora, o vetor unitário na direção de é:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de .
Primeira derivada parcial em relação a :
Primeira derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :
Derivada mista (primeiro , depois ):
Segunda derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora vamos usar a fórmula da segunda derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A segunda derivada direcional de na direção de é:

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