(b) Determine a segunda derivada direcional de
na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a segunda derivada direcional da função
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar a fórmula da segunda derivada direcional e calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar o vetor
. Normalizar significa ajustar o vetor para que ele tenha comprimento 1, o que facilita os cálculos. A fórmula para a norma (comprimento) de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Agora, o vetor unitário na direção de
é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Primeira derivada parcial em relação a
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Segunda derivada parcial em relação a
:
Derivada mista (primeiro
, depois
):
Segunda derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora vamos usar a fórmula da segunda derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A segunda derivada direcional de
na direção de
é: