x = 2/3 t^3, y = t^2 - 2, 0 <= t <= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício com as equações paramétricas e , onde varia de 0 a 3. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações paramétricas na matemática, que são usadas para representar curvas no plano usando um parâmetro, no caso, .
Para resolvermos, vamos precisar entender como eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e . Isso nos ajuda a transformar as equações paramétricas em uma equação cartesiana, que é mais fácil de interpretar e trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação de :
Queremos expressar em termos de para depois substituir na equação de . Então, rearranjando a equação:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver :
Mas lembre-se que está entre 0 e 3, então consideramos apenas a raiz positiva.

Passo 3

Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na equação de :
Isso nos dá uma relação direta entre e , eliminando o parâmetro .

Passo 4

Simplificando a expressão de :
Então, a equação cartesiana que relaciona e é:

Resposta

A equação cartesiana correspondente às equações paramétricas dadas é:

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