Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Estamos lidando com uma equação diferencial separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis e para integrar cada lado. Para resolver, vamos isolar e reorganizar a equação de maneira que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as que envolvem fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar :
Agora, dividimos ambos os lados por para obter:
Lembrando que , podemos reescrever a equação como:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por e dividimos por :
Assim, temos todas as expressões em de um lado e em do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. Comecemos com o lado esquerdo:
Essa integral é uma forma padrão e sabemos que:
onde é uma constante de integração.
Agora, integremos o lado direito:
Também é uma integral padrão:
onde é outra constante de integração. Considerando o sinal negativo:

Passo 5

Igualando as integrais:
Podemos combinar as constantes de integração em uma única constante :

Passo 6

Para expressar a solução de forma mais clara, podemos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos redefinir a constante para absorver o sinal negativo:
onde é uma nova constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

(b) Determine a segunda derivada direcional de na direção de .
Determinar a derivada das seguintes funções:
u)
Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
.