Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Estamos lidando com uma equação diferencial separável, ou seja, conseguimos separar as variáveis
e
para integrar cada lado. Para resolver, vamos isolar
e reorganizar a equação de maneira que todas as expressões envolvendo
fiquem de um lado e as que envolvem
fiquem do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
:
Agora, dividimos ambos os lados por
para obter:
Lembrando que
, podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
:
Assim, temos todas as expressões em
de um lado e em
do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. Comecemos com o lado esquerdo:
Essa integral é uma forma padrão e sabemos que:
onde
é uma constante de integração.
Agora, integremos o lado direito:
Também é uma integral padrão:
onde
é outra constante de integração. Considerando o sinal negativo:
Passo 5
Igualando as integrais:
Podemos combinar as constantes de integração em uma única constante
:
Passo 6
Para expressar a solução de forma mais clara, podemos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos redefinir a constante
para absorver o sinal negativo:
onde
é uma nova constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(b) Determine a segunda derivada direcional de
na direção de
.
Determinar a derivada das seguintes funções:
u)
u)
Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
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